¿Necesito inducción aquí?

Question

Se me pide que demuestre, mediante inducción, que

$$\sum\limits_{i=1}^n F(2i-1) = F(2n)$$

para todos los números reales n, donde la función F(i) da el i:º número de Fibonacci. La serie comienza con $F(0) = 0, F(1) = 1$ etc

Mi pregunta es, ¿cómo, o más bien por qué, tendría que utilizar la inducción en este caso?

¿No se puede entender simplemente que la función sumatoria es igual a

$$F(1) + F(3) + F(5) + F(7) + ... + F(2n-1)$$

y que $F(2n)$ puede simplificarse del siguiente modo:

$$F(2n) = F(2n-1) + F(2n-2) = F(2n-1) + F(2n-3) + F(2n-4) = F(2n-1) + F(2n-3) + F(2n-5) + F(2n-6) ...$$

TLDR; dime por qué necesitaría usar la inducción y por qué mi "prueba" es errónea.

Answer 1

¿Qué te parece esto?

$$\begin{align} &F(2n+2)\\ &=F(2n+1)+F(2n)\\ &=F(2n+1)+F(2n-1)+F(2n-2)\\ &=F(2n+1)+F(2n-1)+F(2n-3)+F(2n-4)\\ &=F(2n+1)+F(2n-1)+F(2n-3)+F(2n-5)+F(2n-6)\\ &=\cdots \end{align}$$

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Esto también es posible.

$$\begin{align} &F(2n+1)\\ &=F(2n)+F(2n-1)\\ &=F(2n)+F(2n-2)+F(2n-3)\\ &=F(2n)+F(2n-2)+F(2n-4)+F(2n-5)\\ &=F(2n)+F(2n-2)+F(2n-4)+F(2n-6)+F(2n-7)\\ &=\cdots \end{align}$$

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(Por inducción)

En primer lugar, es válida para $n=1$ . Si se cumple para $n$ , $$F(2n+2)=F(2n+1)+F(2n)=F(2n+1)+\sum_{i=1}^{n}F(2i-1)=\sum_{i=1}^{n+1}F(2i-1)$$ Por lo tanto, también es válido para $n+1$ .

Answer 2

Como se explica en los comentarios tu prueba no es errónea, propiamente dicho y, de hecho, ¡es efectivamente un esbozo de una prueba por inducción! Una prueba por inducción simplemente formaliza tu idea heurística.

El caso $F(2)=F(1)$ es fácil de comprobar. Y más en general, $$F\bigl(2(n+1)\bigr)=F\bigl(2(n+1)-1\bigr)+F\bigl(2(n+1)-2\bigr)=F\bigl(2(n+1)-1\bigr)+F(2n),$$ de donde una hipótesis inductiva le da $$F\bigl(2(n+1)\bigr)=F\bigl(2(n+1)-1\bigr)+\sum_{i=1}^nF(2i-1)=\sum_{i=1}^{n+1}F(2i-1),$$ y ya está.