Encontrar la probabilidad dada (distribuciones uniformes implicadas).

Question

Se nos da que los números se seleccionan al azar del intervalo $(0,1)$ . Si $100$ ¿cuál es la probabilidad de que la media de los números sea menor que $0.5$ ?

Dejamos que $X_i$ sea el $i$ -ésimo número seleccionado, suponiendo $X_i\sim U(0,1)$ tenemos que encontrar $$P\left(\dfrac{X_1 + X_2+ \dots +X_{100}}{100} < 0.5\right)$$ Es decir $P(X_1 + X_2+ .... +X_{100} < 50)$ .

Suponiendo que $X_i$ como independientes, ¿cómo podemos hallar la probabilidad dada? No creo que $\sum_{i=1}^{n} X_i$ también resultará ser una distribución uniforme. ¿Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Comentario: La respuesta de @Did es sencilla y no implica ninguna aproximación.

Sin embargo, si estás en un curso de probabilidad para principiantes y sólo el Teorema Central del Límite, existe la posibilidad de que se pretenda utilizarlo. Cada $X_i$ tiene $E(X_i) = 1/2$ y $Var(X_i) = 1/12.$

Por lo tanto $S = \sum_{i=1}^{100} X_i$ tiene $E(S) = 50,$ $Var(S) = 100/12,$ y $SD(S) = 2.886751.$ Por el CLT, $S$ es aproximadamente normal. Así que se podría normalizar $S$ y utilizar la distribución normal (¡simétrica!) para obtener la respuesta.

Este método tiene la ventaja de que también podría utilizarse para encontrar $P(S < a)$ para los números $a$ distintos de 50.

Una simple simulación (en el software estadístico R) permite ilustrar que la distribución de $S$ es casi normal.

m = 10^4;  n = 100;  x = runif(m*n)
DTA = matrix(x, nrow=m) # each row a sample of 100
s = rowSums(DTA) # vector of sums of the m samples
mean(s < 50)
## 0.499  # aprx P(S < 50),  proportion of s-values below 50

hist(s, prob=T, br=20, col="wheat", ylim=c(0,.15), 
   main="Simulated Distribution of Sums of 100 UNIF(0,1) Observations")
 curve(dnorm(x, 50, sqrt(100/12)), lwd=2, col="blue", add=T)
 abline(v=50, lwd=2, col="red")