Lo sé. $\mathbb{RP}^3$ es orientable, pero me ha sorprendido no encontrar un atlas orientado para él tan fácilmente:
Si establezco el atlas estándar
$(x_1, x_2, x_3)\mapsto [x_1:x_2:x_3:1]$
$(y_1, y_2, y_3)\mapsto [y_1: y_2: 1: y_3]$
$(z_1, z_2, z_3)\mapsto [z_1: 1: z_2: y_3]$
$(w_1, w_2, w_3)\mapsto [1: w_1: w_2: w_3]$
A continuación, podemos examinar la transición de la primera a la segunda: $(x_1, x_2, x_3)\mapsto \left( \dfrac{x_1}{x_3}, \dfrac{x_2}{x_3}, \dfrac{1}{x_3} \right).$ El jacobiano tiene determinante $-\dfrac{1}{x_3^4}< 0$ .
Podemos solucionarlo cambiando el segundo gráfico por $(y_1, y_2, y_3)\mapsto [y_1: y_2: -1: y_3]$ por ejemplo.
El mismo problema se produce para los otros dos por lo que puedo cambiar mi atlas a
$(x_1, x_2, x_3)\mapsto [x_1:x_2:x_3:1]$
$(y_1, y_2, y_3)\mapsto [y_1: y_2: -1: y_3]$
$(z_1, z_2, z_3)\mapsto [z_1: -1: z_2: y_3]$
$(w_1, w_2, w_3)\mapsto [-1: w_1: w_2: w_3]$
con la esperanza de que ahora se arregle. Pero entonces no es difícil ver el jacobiano de la segunda con el tercer gráfico tendrá jacobiano negativo. Podría arreglarlo cambiando un signo, pero entonces volverá a generar un jacobiano negativo en la transición con el primero. En otras palabras, parece que no hay manera inmediata de arreglar esto.
Una cosa interesante es que con el círculo esto funciona a la perfección, porque sólo hay dos gráficos de esta manera.
Por otro lado, mi intuición me haría pensar que, dado que esta carta estándar será definitivamente difeomórfica con cualquier atlas orientado que pueda encontrar (aunque no difeomórfica con preservación de la orientación), debería poder hacer que esto funcionara con sólo cambiar los signos.
¿Alguien tiene alguna idea para encontrar un atlas orientado?
