¿Qué tiene de especial la categoría Simplex?

Question

Últimamente me he estado preguntando qué es lo que hace que los conjuntos simpliciales "funcionen".

Editado

La categoría $\Delta$ puede considerarse como la categoría de norma $n$ -y mapas simpliciales que preservan el orden. El objetivo de los conjuntos simpliciales es construir espacios a partir de estos bloques de construcción mediante encolado, y permitir que los mapas se definan simplex por simplex, por lo que tiene sentido tomar la cocompleción libre de $\Delta$ la categoría de preseaf $[\Delta^{op},\mathbf{Set}]$ . El functor de realización $R : \Delta\to \mathbf{Top}$ puede extenderse fácilmente a la cocompleción, de modo que $\hat{R}$ preservar los colímetros.

Así que mis preguntas son:

• ¿Cómo entender intuitivamente por qué $\hat{R}$ conserva productos finitos? (Entiendo que hay algunas sutilezas con $k$ -ificación)
• ¿Qué hace que $\Delta$ especial de esta manera, que falla por decir $\Gamma=\mathbf{FinSetSkel}$ ¿"Conjuntos simétricos simpliciales" y conjuntos cúbicos?
• ¿Cuál es su filosofía de los conjuntos simpliciales?

Answer 1

Intuitivamente, veo la preservación del producto o, de hecho, la preservación del límite finito de la realización geométrica $\hat{R}: [\Delta^{op}, \mathbf{Set}] \to \mathbf{kSpace}$ como elevación (a través del functor olvidadizo $U: \mathbf{kSpace} \to \mathbf{Set}$ ) un adjunto izquierdo exacto más básico $[\Delta^{op}, \mathbf{Set}] \to \mathbf{Set}$ . El resultado básico es que se puede ver que tales adjuntos izquierdos exactos corresponden a órdenes lineales con distintos superior e inferior, aka intervalos y el intervalo específico que se utiliza para la realización geométrica es el intervalo unitario estándar $I = [0, 1]$ .

Existe un famoso resultado de la teoría de los topos llamado teorema de Diaconescu, en el que los adyacentes izquierdos exactos $[C^{op}, \mathbf{Set}] \to \mathbf{Set}$ corresponden (en el sentido de una equivalencia de categorías) a colímites filtrados de representables $C \to \mathbf{Set}$ . En el caso $C = \Delta$ para comprender los colímites filtrados de los representables $\hom_\Delta([n], -)$ es útil saber que la categoría de intervalos finitos es dual a la categoría de órdenes lineales finitos no vacíos (la equivalencia $\Delta^{op} \to \text{FinInt}$ toma $[n] = \{0 < 1 < \ldots < n\}$ al intervalo $\hom_\Delta([n], \{0 < 1\})$ con $n+2$ elementos). Por ejemplo, tomemos el representable restringido $\hom_{\text{Int}}(i-, I)$ restringiendo a lo largo de la subcategoría $i: \text{FinInt} \hookrightarrow \text{Int}$ . Como cualquier intervalo, el intervalo unitario estándar $I$ puede representarse como un colímite filtrado del diagrama de sus subintervalos finitos e inclusiones entre ellos, digamos $I = \text{colim}_{d \in D}\; I_d$ donde $I_d$ es un intervalo con $n_d + 2$ elementos. Entonces el functor $\hom_{\text{Int}}(i-, I)$ es un colímite filtrado de representables de $\Delta$ :

$$\begin{array}{lll} \hom_{\text{Int}}(i-, I) & = & \hom_{\text{Int}}(i-, \text{colim}_d\; I_d): \text{FinInt}^{op} \to \mathbf{Set} \\ & \cong & \text{colim}_d\; \hom_{\text{Int}}(i-, I_d) \\ & \cong & \text{colim}_d \hom_\Delta([n_d], -): \Delta \to \mathbf{Set} \end{array}$$

(para llegar a la segunda línea, observe que para cualquier subintervalo finito $J$ el functor $\hom_{\text{Int}}(J, -)$ preserva los colímites filtrados, es decir, $J$ es finitamente presentable en la categoría de intervalos).

Resumiendo, hay tres ingredientes principales, todos los cuales deben considerarse blandos y conceptuales:

• $\Delta$ es dual a la categoría de intervalos finitos;

• La Ind-compleción de la categoría de intervalos finitos es la categoría de todos los intervalos, en la que los intervalos finitos son los objetos finitamente presentables;

• Esto implica que los colímites filtrados de representables $\Delta \to \mathbf{Set}$ o contiguos izquierdos exactos $[\Delta^{op}, \mathbf{Set}] \to \mathbf{Set}$ se clasifican por intervalos, y elegimos el intervalo estándar para conseguir que (el conjunto subyacente de) la realización geométrica sea exacta a la izquierda.

En particular, el mapa continuo canónico

$$\hat{R}(\hom_\Delta(-, [m]) \times \hom_\Delta(-, [n])) \to \hat{R}(\hom_\Delta(-, [m])) \times \hat{R}(\hom_\Delta(-, [n]))$$

es una biyección a nivel del conjunto subyacente. Junto con un breve argumento de que el lado izquierdo es compacto y el lado derecho es Hausdorff, este mapa es un homeomorfismo.

Luego se termina con un cálculo formal donde los conjuntos simpliciales generales $X$ son colímites de representables:

$$\begin{array}{lll} \hat{R}(X \times Y) & \cong & \hat{R}(\text{colim}_d \; \hom(-, [n_d]) \times \text{colim}_e \; \hom(-, [n_e])) \\ & \cong & \hat{R}(\text{colim}_{d, e} \; \hom(-, [n_d]) \times \hom(-, [n_e])) \\ & \cong & \text{colim}_{d, e} \; \hat{R}(\hom(-, [n_d]) \times \hom(-, [n_e])) \\ & \cong & \text{colim}_{d, e} \; \hat{R}(\hom(-, [n_d])) \times \hat{R}(\hom(-, [n_e])) \\ & \cong & \text{colim}_d \; \hat{R}(\hom(-, [n_d])) \times \text{colim}_e \; \hat{R}(\hom(-, [n_e])) \\ & \cong & \hat{R}(\text{colim}_d \; \hom(-, [n_d)) \times \hat{R}(\text{colim}_e \; \hom(-, [n_e])) \\ & \cong & \hat{R}(X) \times \hat{R}(Y) \end{array} $$

donde el paso crucial es a la quinta línea; aquí es donde utilizamos el hecho de que $\mathbf{kSpace}$ es cartesiano cerrado, de modo que el producto cartesiano en $\mathbf{kSpace}$ preserva los colímites en cada uno de sus dos argumentos (lo que no ocurre con $\mathbf{Top}$ ). (La segunda línea es similar; utilizamos el hecho de que los conjuntos simpliciales son cartesianamente cerrados).

De todos modos, espero que el papel crucial de la pedir de los símplices combinatorios. No creo que tenga una única filosofía de los conjuntos simpliciales, porque los conjuntos simpliciales tienen muchos corazones. Por ejemplo, la categoría de los ordinales finitos, incluido el vacío, es la categoría monoidal inicial con un monoide; esto es increíblemente importante para las construcciones de barras. Pero para otro, véase este encantador entrada del blog por Tom Leinster.

Answer 2

Esto es sobre todo una respuesta a la pregunta del título y a la tercera pregunta del cuerpo; no tengo nada inteligente que decir sobre los productos finitos. El punto de vista que quiero defender aquí es el siguiente:

Los objetos simpliciales son una generalización natural de los diagramas coigualadores a la teoría de categorías superiores.

La historia en la teoría de categorías ordinaria

Sea $C$ sea una categoría ordinaria y sea $F : J \to C$ sea un diagrama en $C$ . Por razones que espero queden claras, permítanme escribir $J_0$ para los objetos de $J$ y $J_1$ para los morfismos. Recordemos que para calcular colímites en $C$ basta con poder calcular coproductos y coigualadores, ya que siempre que éstos existan $\text{colim}(F)$ puede escribirse como el coigualador del diagrama

$$\bigsqcup_{j_1 \in J_1} F(\text{source}(j_1)) \rightrightarrows \bigsqcup_{j_0 \in J_0} F(j_0)$$

donde las dos flechas son, respectivamente, las flechas de identidad $F(\text{source}(j_1)) \to F(\text{source}(j_1))$ y las composiciones $F(\text{source}(j_1)) \xrightarrow{F(j_1)} F(\text{target}(j_1))$ . Así, informalmente, "los colímites son generados por coproductos y coigualadores".

Una forma de pensar en esta construcción es pensar en un diagrama coigualador $E \rightrightarrows V$ como un gráfico interno en una categoría, con $E$ siendo el objeto de las aristas y $V$ siendo el objeto de los vértices, donde las dos flechas especifican el origen y el destino de las aristas. El coigualador, entonces, es el objeto de componentes conectadas de este grafo interno, ya que identificamos las fuentes de todas las aristas con los objetivos; en otras palabras, calcula $\pi_0$ del gráfico interno.

La descomposición anterior de un colímite arbitrario en coproductos y luego en un coigualador no es más que decir que todos los colímites se calculan tomando el coproducto de un montón de cosas, luego haciendo algunas identificaciones, y que además estas identificaciones pueden ser calculadas por un único coigualador que empaqueta todas las identificaciones que hay que hacer usando otro coproducto. Antes de tomar el coequalizador, el diagrama anterior es un gráfico interno que describe todas las identificaciones que hay que hacer.

La historia en la teoría de categorías superiores

Ahora dejemos que $C$ sea el $(\infty, 1)$ -de espacios, aunque $C$ puede sustituirse por cualquier $(\infty, 1)$ -y que $F : J \to C$ sea un diagrama en $C$ . Para facilitar la exposición, tomemos $J$ ser una categoría ordinaria aunque creo $J$ puede ser en toda generalidad otro $(\infty, 1)$ -y, en particular, puede ser una $\infty$ -por ejemplo, un espacio. Ahora queremos calcular el $(\infty, 1)$ -o, lo que es lo mismo, el colímite homotópico de $F$ de forma análoga a la receta del coigualador anterior.

Sin embargo, en el entorno homotópico no basta con poder calcular coproductos y coigualadores homotópicos. El problema es que cuando tomamos coigualadores de homotopía, nunca identificamos las cosas; en su lugar, añadimos $1$ -células entre las cosas, y en particular si identificamos las cosas varias veces acabamos añadiendo múltiples $1$ -células. Algunas de estas $1$ -las células deben ser "iguales $1$ -celda" y tenemos que tenerlo en cuenta; es decir, también debemos pegar en extra $2$ -células entre $1$ -células. Pero entonces nos encontramos con el mismo problema un nivel más arriba y tenemos que pegar extra $3$ -células entre $2$ -células, etc.

Por ejemplo. Sea $J$ sea la categoría de un objeto correspondiente a un grupo discreto $G$ y que $F : J \to C$ sea el diagrama trivial. Entonces la receta del coigualador de homotopía anterior, cuando se toma en espacios, toma un punto y le añade un bucle por cada elemento de $G$ . En otras palabras, obtenemos $BF_{|G|}$ el espacio clasificador del grupo libre sobre el conjunto subyacente de $G$ mientras que el colímite homotópico correcto es $BG$ . La discrepancia se debe a que no hemos tenido en cuenta las relaciones entre los elementos de $G$ . Si lo hiciéramos pegando $2$ -entonces obtenemos a $2$ -complejo que ahora tiene el $\pi_1$ pero la homotopía superior equivocada. La discrepancia se debe ahora a que no hemos dado cuenta de las relaciones entre las relaciones, etcétera.

(Si $F$ es un diagrama no trivial, entonces el colímite de homotopía calcula el cociente de homotopía $F(\text{pt}) \times_G EG$ .)

Por ejemplo. Por poner al menos un ejemplo $C$ no es espacios, que $C$ sean complejos de cadenas de grupos abelianos. Entonces el colímite homotópico correcto del diagrama $J$ del ejemplo anterior es (hasta cuasi-isomorfismo) el complejo que computa la cohomología de grupo de $G$ con coeficientes en $\mathbb{Z}$ mientras que el coequalizador de homotopía sólo da los términos zeroth y first $\mathbb{Z}[G] \to \mathbb{Z}$ .

(Si $F$ es un diagrama no trivial, entonces el colímite de homotopía calcula la cohomología de grupo de $G$ con coeficientes en $F(\text{pt})$ .)

Así que sigamos nuestras narices. Para calcular el colímite de homotopía $\text{hocolim}(F)$ también podríamos escribir el diagrama

$$\bigsqcup_{j_1 \in J_1} F(\text{source}(j_1)) \rightrightarrows \bigsqcup_{j_0 \in J_0} F(j_0)$$

para empezar y luego seguir arreglándolo. Como se mencionó anteriormente, el problema con este diagrama es que en su homotopía coequalizer hemos añadido en redundante $1$ -células sin especificar $2$ -células que las relacionan. Proceden de la composición de morfismos en $J$ es decir, para todos los morfismos componibles $j_1, j_1'$ hay una identificación que implica $j_1$ y una identificación que implique $j_1'$ lo que hace que la identificación implique $j_1 \circ j_1'$ redundante. Así que tenemos que añadir $2$ -correspondientes a todos los pares de morfismos componibles en $J$ . Déjame escribir $J_2$ para este conjunto. Entonces deberíamos extender el diagrama anterior a un diagrama

$$\bigsqcup_{j_2 \in J_2} F(\text{source}(j_2)) \substack{\longrightarrow\\[-1em] \longrightarrow \\[-1em] \longrightarrow} \bigsqcup_{j_1 \in J_1} F(\text{source}(j_1)) \rightrightarrows \bigsqcup_{j_0 \in J_0} F(j_0)$$

donde las nuevas tres flechas corresponden a los tres morfismos $j_1, j_1', j_1 \circ j_1'$ se puede escribir partiendo de un par componible $j_2 = (j_1, j_1')$ de morfismos, y $\text{source}(j_2)$ indica $\text{source}(j_1)$ (mi convención para la composición aquí es opuesta a la habitual; para $j_1 \circ j_1'$ significa que el objetivo de $j_1$ es la fuente de $j_1'$ ); estos son los tres $1$ -celdas que limitan a $2$ -celda que ahora queremos poner para arreglar la redundancia que hemos creado.

Pero claro, ahora tenemos $2$ -células, etc. Esperemos que ya te hayas anticipado al final de la historia: al final tenemos que considerar todo el nervio de $J$ y para calcular el colímite homotópico calculamos la realización geométrica del objeto simplicial construido a partir del nervio aplicando $F$ . Así pues, podemos generalizar "los colímites son generados por coproductos y coigualadores" a, al menos para el caso de diagramas de categorías indexadas en espacios, "los colímites de homotopía son generados por coproductos y realizaciones geométricas".

(No te he dicho lo que quiero decir con la realización geométrica de un objeto simplicial en un arbitrario $(\infty, 1)$ -categoría. La definición tautológica es que es el colímite homotópico. En particular, no me refiero a lo que se obtiene partiendo de un objeto cosimplicial arbitrario).

Answer 3

Su pregunta es demasiado amplia, pero creo que hay que mencionar aquí el trabajo de Grothendieck y Cinsinski (y, por supuesto, Maltsiniotis). Grothendieck introdujo la noción de categoría de prueba en Perseguir pilas (¿podremos alguna vez explotar plenamente la gran cantidad de ideas que contiene?). Ésas son las categorías sobre las que los preensamblajes de conjuntos producen modelos de tipos homotópicos de complejos CW. Por lo tanto, ésa es la respuesta a la pregunta de qué tiene de especial $\Delta$ (y también una respuesta a qué es no ya que hay montones de categorías de pruebas). Cisinski demostró que los preensamblajes de conjuntos sobre una categoría de prueba tienen una estructura modelo. Tiene un excelente libro sobre esto, que se puede descargar de:

http://www.math.univ-toulouse.fr/~dcisinsk/ast.pdf

Answer 4

Creo que también hay que ser algo ecléctico y considerar no sólo las ventajas, sino también las desventajas comparativas de cualquier candidato a un papel categórico central.

Confieso que en este caso se trata de un alegato especial, ya que nuestro EMS Tract de 2001 sobre Topología algebraica noabeliana da un papel importante a un fundamento homotópico de la topología algebraica a los conjuntos cúbicos. La cuestión es que en la simplicial habitual $\infty$ -teoría de las categorías el énfasis se pone en la condición Kan. En la teoría cúbica, el énfasis se pone en composiciones . Esto permite sustituir las sumas formales habituales en la teoría homológica básica por composiciones reales de piezas para funtores definidos homotópicamente. Véase debate mathoverflow .

La tesis y el primer artículo (1955) de Dan Kan eran cúbicos, como mejor para la intuición y las conjeturas, pero los trabajadores de Princeton encontraron graves desventajas en la categoría de conjuntos cúbicos. Una desventaja era que los conjuntos cúbicos, a diferencia de los conjuntos simpliciales, no eran complejos de Kan. Otra era la realización del producto cartesiano de conjuntos cúbicos, que tenía un tipo de homotopía incorrecto, de nuevo a diferencia de los conjuntos simpliciales. Así que se asumió que la teoría cúbica no tenía arreglo.

Sin embargo, los trabajos realizados en Bangor en la década de 1970 con Chris Spencer y Philip Higgins, a partir de la relación entre groupoides dobles y módulos cruzados, hicieron necesario introducir un nuevo tipo de cubo "degenerado" basado en las estructuras monoides max y min en el intervalo unitario. $I=[0,1]$ La degeneración estándar en conjuntos cúbicos da lugar a cubos con caras opuestas iguales, donde estos nuevos tenían algunas caras adyacentes iguales, y así hicieron que la teoría se acercara un poco más a la teoría simplicial. Estas nuevas estructuras se llamaron conexiones debido a una relación con las conexiones de trayectorias en geometría diferencial.

Como señala Philippe Gaucher, Andy Tonks demostró en 1992 que los grupos cúbicos con conexiones eran complejos de Kan. En 2005, Georges Maltsiniotis demostró que la realización geométrica del producto cartesiano de conjuntos cúbicos con conexiones tiene el tipo homotópico correcto.

Hay dos razones principales para utilizar conjuntos cúbicos. Una es la fórmula $I^m \times I^n \cong I^{m+n}$ que constituye un buen producto tensorial de conjuntos cúbicos, y también permite una definición cómoda y directa de homotopías.

La segunda razón, y para nosotros la más importante, para utilizar conjuntos cúbicos se expresa en el lema "inversos algebraicos a la subdivisión", que es una elaboración de la idea de composición en conjuntos cúbicos. El conjunto cúbico singular estándar $S^{\Box} X$ de un espacio topológico es decir, fácilmente equipado con $n$ composiciones parciales en dimensión $n$ dando $S^{\Box} X$ la estructura de los débiles $\infty$ -groupoide. Una notación simple de matriz/array $[a_{(r)}]$ permite expresar múltiples composiciones parciales de $n$ -cubos compatibles en todas las direcciones. Esto da sentido a los "inversos algebraicos de la subdivisión". Esta es una de las intuiciones básicas que subyacen a las primeras demostraciones de versiones superiores del Teorema de Seifert-van Kampen.

No me queda nada claro cómo se pueden expresar estas ideas en términos simplistas.

Hay más discusión sobre la intuición de estos usos de los conjuntos cúbicos en las charlas que di en París el 5 de junio de 2014 y en Galway, diciembre de 2014, disponibles en mi página de preimpresión .

Marzo de 2015: Desde entonces me he enterado de que los conjuntos cúbicos con conexión se utilizan en la teoría de motivos en este documento . Parece que las degeneraciones en cubos funcionan mejor aquí que en símplices. Otro documento compara funtores derivados cúbicos y simpliciales. Ambos trabajos utilizan conjuntos cúbicos con conexiones que Philip Higgins y yo introdujimos en JPAA 1981. Este tipo adicional de degeneraciones corrige en cierto modo algunas deficiencias bien conocidas de los conjuntos cúbicos habituales, en términos de grupos cúbicos y realizaciones geométricas de productos cartesianos - véanse las charlas mencionadas anteriormente. <------->

Answer 5

En cuanto a tu segunda pregunta, efectivamente el functor de realización de conjuntos cúbicos a espacios topológicos no preserva los productos finitos. Pero lo hace añadiendo mapas de degeneración llamados mapas de conexión . El ejemplo típico de conjunto cúbico con conexiones es el nervio cúbico de un espacio topológico. Leer la página dedicada a este tema en el nLab para algunas explicaciones. Otro hecho relacionado es que los grupos cúbicos no son necesariamente Kan (a diferencia de los grupos simpliciales). Pero los grupos cúbicos con conexiones son Kan: A. Tonks, Grupos cúbicos que son Kan, Journal of Pure and Applied Algebra 81 (1992) 83-87 .