¿Realmente "demuestra" el Teorema de la Espín-estadística?

Question

Al cuantizar un campo escalar, imponemos una relación de conmutación entre los operadores de campo a mano . Por otro lado, se impone la relación de anticonmutación entre los operadores de campo de Dirac a mano . Como consecuencia se obtiene la estadística de Bose (la función de onda de dos partículas es simétrica) en el primer caso y la estadística de Fermi (la función de onda de dos partículas es antisimétrica) en el segundo.

Pero, ¿realmente pruebe el teorema de la espín-estadística ?

Answer 1

Escribo a continuación el enunciado del citado teorema que asume, como hipótesis, la validez de los llamados "axiomas de Wightman" en el espaciotiempo cuatridimensional de Minkowski.

Ya ves que no hay nada impuesto a dedo. En realidad, es un teorema sin salida. Cuantificando campos libres establece, en particular, que la elección estándar es la única posible.

Teorema Spin-Statistics (Libro de Streater-Wightman Thm 4-10, adoptando la firma +---):

Para un campo espinor irreducible general la conexión "errónea" con la estadística:

$$[\phi_a(x), \phi^\dagger_a(y)]_+ =0\quad \mbox{$ \phi $ with integer spin}$$

$$[\phi_a(x), \phi^\dagger_a(y)]_- =0\quad \mbox{$ \phi $ with half-odd integer spin}$$

y $(x-y)^2<0$ implica:

$$\phi_a(x)|vac\rangle =0\:.\quad (1)$$ En una teoría de campos en la que todos los campos conmutan o anticonmutan, esto implica también $\phi=\phi^\dagger=0$ .

La identidad (1) implica inmediatamente que todas las funciones de n puntos de la teoría desaparecen, de modo que la teoría resulta ser trivial. $|vac\rangle$ es el único (hasta fases) estado vectorial normalizado que es invariante de Poincaré.