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Cálculo sobre variedades (Spivak), teorema 2-13

Tengo problemas para entender este teorema:

2-13 Teorema. Sea f:RnRp sea continuamente diferenciable en un conjunto abierto que contenga a donde pn . Si f(a)=0 y el p×n matriz (Djfi(a)) tiene rango p entonces existe un conjunto abierto ARn que contiene a y una función diferenciable h:ARn con inversa diferenciable tal que fh(x1,,xn)=(xnp+1,,xn).

Parece que la función f(x)=x214 alrededor de a=12 sirve de contraejemplo. Obviamente esta función es continuamente diferenciable en todas partes, y f(a)=0 y la derivada f(x)=2x es distinto de cero en a . Dado que el dominio de h es A que contiene a debe haber h(a) tal que f(h(a))=a por el enunciado del teorema, es decir, f(h(12))=12 pero esto es imposible ya que f alcanza su mínimo en (0,14) .

He mirado la prueba y parece que aquí hay un error:

Prueba. Podemos considerar f en función de f:Rnp×RpRp . Si det entonces M es el p \times p matriz (D_{n_p+j}f^i(a)) , 1 \leq i, j \leq p entonces estamos precisamente en la situación considerada en la demostración del Teorema 2-12, y como demostramos en esa demostración, existe h tal que f \circ h(x^1, \ldots, x^n) = (x^{n-p+1}, \ldots, x^n) .

El error es que "la situación considerada en la demostración del Teorema 2-12" establece la existencia de h(x) donde x está cerca de (a^1, \ldots, a^{n-p}, 0, \ldots, 0) (considerando una función F que sustituye al último p coordenadas de x por f(x) aplicando el teorema de la función inversa) y no en una vecindad de a sí mismo.

¿Cuál es el enunciado correcto del teorema 2-13? Yo me lo saltaría, pero parece que es importante más adelante, en el capítulo de los múltiples.

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WMe6 Puntos 31

En aras de la exhaustividad, se expone aquí la versión corregida del teorema:

\textbf{Corrected Theorem 2-13}. Sea f:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^p , p\leq n sea continuamente diferenciable en un conjunto abierto que contenga a . Si f(a)=0 y \mathrm{rk}([D_jf^i(a)])=p entonces existe un conjunto abierto A\subset\mathbf{R}^n con a\in A y una función invertible h:A\to\mathbf{R}^n , h\in C^1 y h^{-1}\in C^1 tal que h(a)=0 y f\circ h^{-1}(x^1,\ldots, x^n)=(x^{n-p+1},\ldots, x^n).

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