Tengo problemas para entender este teorema:
2-13 Teorema. Sea f:Rn→Rp sea continuamente diferenciable en un conjunto abierto que contenga a donde p≤n . Si f(a)=0 y el p×n matriz (Djfi(a)) tiene rango p entonces existe un conjunto abierto A⊂Rn que contiene a y una función diferenciable h:A→Rn con inversa diferenciable tal que f∘h(x1,…,xn)=(xn−p+1,…,xn).
Parece que la función f(x)=x2−14 alrededor de a=−12 sirve de contraejemplo. Obviamente esta función es continuamente diferenciable en todas partes, y f(a)=0 y la derivada f′(x)=2x es distinto de cero en a . Dado que el dominio de h es A que contiene a debe haber h(a) tal que f(h(a))=a por el enunciado del teorema, es decir, f(h(−12))=−12 pero esto es imposible ya que f alcanza su mínimo en (0,−14) .
He mirado la prueba y parece que aquí hay un error:
Prueba. Podemos considerar f en función de f:Rn−p×Rp→Rp . Si det entonces M es el p \times p matriz (D_{n_p+j}f^i(a)) , 1 \leq i, j \leq p entonces estamos precisamente en la situación considerada en la demostración del Teorema 2-12, y como demostramos en esa demostración, existe h tal que f \circ h(x^1, \ldots, x^n) = (x^{n-p+1}, \ldots, x^n) .
El error es que "la situación considerada en la demostración del Teorema 2-12" establece la existencia de h(x) donde x está cerca de (a^1, \ldots, a^{n-p}, 0, \ldots, 0) (considerando una función F que sustituye al último p coordenadas de x por f(x) aplicando el teorema de la función inversa) y no en una vecindad de a sí mismo.
¿Cuál es el enunciado correcto del teorema 2-13? Yo me lo saltaría, pero parece que es importante más adelante, en el capítulo de los múltiples.