Tengo problemas para entender este teorema:
2-13 Teorema. Sea $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ sea continuamente diferenciable en un conjunto abierto que contenga $a$ donde $p \leq n$ . Si $f(a) = 0$ y el $p \times n$ matriz $(D_jf^i(a))$ tiene rango $p$ entonces existe un conjunto abierto $A \subset \mathbb{R}^n$ que contiene $a$ y una función diferenciable $h: A \to \mathbb{R}^n$ con inversa diferenciable tal que $$f \circ h(x^1, \ldots, x^n) = (x^{n-p+1}, \ldots, x^n).$$
Parece que la función $f(x) = x^2 - \frac{1}{4}$ alrededor de $a = -\frac{1}{2}$ sirve de contraejemplo. Obviamente esta función es continuamente diferenciable en todas partes, y $f(a) = 0$ y la derivada $f'(x) = 2x$ es distinto de cero en $a$ . Dado que el dominio de $h$ es $A$ que contiene $a$ debe haber $h(a)$ tal que $f(h(a)) = a$ por el enunciado del teorema, es decir, $f(h(-\frac{1}{2})) = -\frac{1}{2}$ pero esto es imposible ya que $f$ alcanza su mínimo en $(0, -\frac{1}{4})$ .
He mirado la prueba y parece que aquí hay un error:
Prueba. Podemos considerar $f$ en función de $f: \mathbb{R}^{n-p} \times \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^p$ . Si $\det M \neq 0$ entonces $M$ es el $p \times p$ matriz $(D_{n_p+j}f^i(a))$ , $1 \leq i, j \leq p$ entonces estamos precisamente en la situación considerada en la demostración del Teorema 2-12, y como demostramos en esa demostración, existe $h$ tal que $f \circ h(x^1, \ldots, x^n) = (x^{n-p+1}, \ldots, x^n)$ .
El error es que "la situación considerada en la demostración del Teorema 2-12" establece la existencia de $h(x)$ donde $x$ está cerca de $(a^1, \ldots, a^{n-p}, 0, \ldots, 0)$ (considerando una función $F$ que sustituye al último $p$ coordenadas de $x$ por $f(x)$ aplicando el teorema de la función inversa) y no en una vecindad de $a$ sí mismo.
¿Cuál es el enunciado correcto del teorema 2-13? Yo me lo saltaría, pero parece que es importante más adelante, en el capítulo de los múltiples.
