El ejemplo habitual de anillo unitario sin IBN propiedad es el anillo de la columna finito matrices, y en este caso tenemos a $R\simeq R^2$ (a la izquierda) $R$-módulos. (Ver también aquí.) En particular, se ha $R^2\simeq R^3$.
Me pregunto si hay un ejemplo de anillo unitario (sin IBN propiedad) tal que $R^2\simeq R^3$, pero $R\not\simeq R^2$ ($R$- módulos).
Los únicos otros ejemplos de IBN anillos que soy consciente de que están construidos utilizando Leavitt ruta de álgebras, y hacen exactamente lo que usted desea. Es posible especificar enteros positivos $n<m$ tal que $R^i\ncong R^j$ $(i,j)$ menos de $(n,m)$ en el lexicográfica del orden, sino $R^n\cong R^m$ como módulos. (El $(m,n)$ par es llamado el 'tipo de módulo' en el Leavitt artículo).
Por desgracia, es un poco difícil de manejar para reproducir la totalidad de la construcción aquí. Aquí es un documento sobre la construcción.
Creo que el otro Abrams referencia en el artículo de wiki en IBN debe ser útil, así (yo fui el que puso la cita, pero fue hace mucho tiempo.)
Aquí es otro artículo que trata de forma mucho más directa. Se cita Leavitt del resultado original que es lo que estoy describiendo (teorema 1.3.3)
Para el disfrute de todos, he aquí la cita para Leavitt del artículo:
W. G. Leavitt. El tipo de módulo de un anillo. Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 103: 113-130, 1962.
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