El número de polinomios en un grupo finito

Question

Una función $f:X\to X$ en un grupo $X$ se denomina polinomio si existe $n\in\mathbb N=\{1,2,3,\dots\}$ y elementos $a_0,a_1,\dots,a_n\in X$ tal que $f(x)=a_0xa_1x\cdots xa_n$ para todos $x\in X$ . El menor número posible $n$ en esta representación se denomina grado del polinomio $f$ y se denota por $\deg(f)$ .

Sea $\mathrm{Poly}(X)$ sea el conjunto de todos los polinomios de un grupo $X$ .

De hecho, $\mathrm{Poly}(X)$ es un submonoide del monoide $X^X$ de todos los automapas de $X$ dotado de la operación de composición de funciones.

Así que.., $|\mathrm{Poly}(X)|\le|X^X|=|X|^{|X|}$ .

Si el grupo $X$ es conmutativa, entonces cada polinomio es de la forma $f(x)=ax^n$ para algunos $a\in X$ y $n\in\mathbb N$ . Esto implica que el número de polinomios de semigrupo en un grupo abeliano finito $X$ es igual a $|X|\cdot\exp(X)\le |X|^2$ donde $\exp(X)=\min\{n\in\mathbb N:\forall x\in X\; (x^n=1)\}$ .

Pregunta 1. ¿Hay algún límite superior razonable para el número de polinomios en un grupo finito $X$ ? Por ejemplo $|\mathrm{Poly}(X)|=o(|X|^{|X|})$ ?

Cada polinomio $f:X\to X$ en un grupo abeliano finito $X$ tiene grado $\deg(f)\le\exp(X)$ .

Pregunta 2. Es $\deg(f)\le\exp(X)$ para cualquier polinomio $f:X\to X$ en un grupo finito $X$ ?

Observación 2. La respuesta afirmativa a la pregunta 2 implicaría que $$|\mathrm{Poly}(X)|\le \sum_{n=1}^{\exp(X)}|X|^{k+1}=\frac{|X|^{\exp(X)+2}-|X|^2}{|X|-1}.$$

Observación 3. Grupos finitos $X$ con $|\mathrm{Poly}(X)|=|X|\cdot\exp(X)$ se caracterizan en el siguiente teorema.

Teorema. Un grupo finito $X$ tiene $|\mathrm{Poly}(X)|=|X|\cdot\exp(X)$ sólo si $X$ es conmutativo o isomorfo a $Q_8\times A$ para algún grupo conmutativo no trivial $A$ de orden impar.

Prueba. Para demostrar la parte "si", supongamos que $X$ es conmutativa o $X$ es isomorfo a $Q_8\times A$ para algún grupo conmutativo no trivial $A$ de orden impar. Si $X$ es conmutativa, entonces la igualdad $|\mathrm{Poly}(X)|=|X|\cdot\exp(X)$ está claro.

Supongamos ahora que $X=Q_8\times A$ para algún grupo conmutativo no trivial $A$ de orden impar. Cálculos GAP de Peter Taylor muestran que el grupo $Q_8$ tiene exactamente 32 polinomios de cada grado $k\in\{1,2,3,4\}$ . Esto implica que $$|\mathrm{Poly}(Q_8\times A)|=32\cdot|\mathrm{Poly}(A)|=32\cdot |A|\cdot\exp(A)=4\cdot|X|\cdot\exp(A)=|X|\cdot\exp(X).$$

Para demostrar la parte "sólo si", supongamos que $X$ es un grupo finito no conmutativo con $|\mathrm{Poly}(X)|=|X|\cdot\exp(X)$ . Para cada $a\in X$ y $n\in\mathbb N$ consideremos el polinomio $p_{a,n}(x)=ax^n$ . La definición de $\exp(X)$ implica que el conjunto $\mathrm{Pol}(X):=\{p_{a,n}:a\in X,\;1\le n\le \exp(X)\}$ tiene cardinalidad $|X|\cdot\exp(X)$ y, por tanto, coincide con el conjunto $\mathrm{Poly}(X)$ . Así, para cualquier $a\in X$ existe $n\le\exp(X)$ tal que $axa^{-1}=x^n$ para todos $x\in X$ . Esto implica que todo subgrupo de $X$ es normal, por lo que $X$ es un Grupo Dedekind . Por el resultado clásico de Dedekind , $X$ es isomorfo al producto $Q_8\times A\times B$ donde $A$ es un grupo abeliano de orden impar y $B$ es un grupo booleano, es decir, un grupo de exponente $\exp(B)\le 2$ .

Si el grupo $A$ y $B$ es trivial, entonces $|\mathrm{Poly}(X)|=|\mathrm{Poly}(Q_8)|=128\ne |X|\cdot\exp(X)=32$ .

A continuación, supongamos que el grupo $A$ es trivial y $B$ no es trivial. Entonces $|\mathrm{Poly}(B)|=|\{a,ax:a\in B\}|=2|B|$ . Cálculos GAP de Peter Taylor muestran que el grupo $Q_8$ tiene exactamente 32 polinomios de cada grado $k\in\{1,2,3,4\}$ . En particular, $Q_8$ tiene exactamente 64 polinomios de grado par y 64 polinomios de grado impar. Esto implica que $|\mathrm{Poly}(X)|=64\cdot 2|B|=16|Q_8\times B|=16|X|\ne 4|X|=|X|\cdot\exp(X)=|\mathrm{Poly}(X)|$ . Esta contradicción demuestra que el grupo $A$ no es trivial.

Teniendo en cuenta que el grupo $Q_8$ tiene exactamente 32 polinomios de cada grado $k\in\{1,2,3,4\}$ concluimos que $$|X|\cdot\exp(X)=|\mathrm{Poly}(X)|=|\mathrm{Poly}(Q_8\times A\times B|=32\times|\mathrm{Poly}(A\times B)|=32\times |A\times B|\times \exp(A\times B)=4\times|Q_8\times A\times B|\times \exp(A\times B)=4\cdot |X|\cdot\exp(A\times B)$$ y por lo tanto $\exp(Q_8\times A\times B)=\exp(X)=4\exp(A\times B)$ . Desde $\exp(Q_8\times A\times B)=4\exp(A),$ esto implica que el grupo booleano $B$ es trivial y, por tanto $X=Q_8\times A$ . $\square$

Answer 1

$\DeclareMathOperator\Poly{Poly}$ Proposición. Si $G$ es un grupo finito no abeliano simple, entonces $\Poly(G)=G^G$ .

(Edición: esta observación aparece como el principal teorema en este documento de Maurer y Rhodes, Proc. AMS 1965. Véase también el teorema 2 aquí por Schneider-Thom. Gracias a Benjamin Steinberg por la referencia).

Aquí está la prueba. No utiliza maquinaria.

Lema. Existe $f\in\Poly(G)$ cuyo soporte es un singleton.

[Aquí el apoyo de $f$ significa $f^{-1}(G\smallsetminus\{1\})$ .]

En efecto, dejemos que $f$ tener apoyo $\{g\}$ . En $x\mapsto hf(x)h^{-1}$ vemos que todos los valores de una única clase de conjugación no trivial se alcanzan mediante polinomios soportados por $\{g\}$ . Por simplicidad y tomando productos, vemos que todos los mapas soportados por $g$ son definibles como polinomios. Además, después de considerar $x\mapsto f(gh^{-1}x)$ obtenemos todas las funciones soportadas por $\{h\}$ . Dado que un mapa arbitrario es producto de mapas soportados por singletons, obtenemos la proposición.

Demostremos ahora el lema. Sea $X$ sea un subconjunto mínimo entre soportes no vacíos de elementos de $\Poly(G)$ ( $X$ existe porque existe un polinomio no constante $=1$ ). Digamos $X$ es el soporte de $f$ . Tenemos que demostrar que $X$ es un singleton. Corrige $g\in X$ . Así que $u(x)=g^{-1}x$ es un polinomio. También para cada $h\in H$ el automapa $v$ definido $v(x)=hf(x)h^{-1}$ es un polinomio. Entonces $w_h:x\mapsto [u(x),v(x)]$ también es un polinomio. Su soporte está contenido en $X\smallsetminus\{g\}$ . Por tanto, obtenemos una contradicción (un soporte no vacío estrictamente menor), a menos que $w_h$ es constante igual a $1$ para cada elección de $h$ . Esto último significa que para cada $x\in X\smallsetminus\{g\}$ el elemento $g^{-1}x$ conmuta con $hf(x)h^{-1}$ . Es decir, el elemento no trivial $g^{-1}x$ conmuta con una clase de conjugación entera no trivial. Pero el centralizador de una clase de conjugación no trivial es trivial (es un subgrupo normal, y no puede ser todo el grupo porque el centro es trivial). Esto es una contradicción a menos que $X\smallsetminus\{g\}$ está vacío, que es precisamente lo que queremos. La prueba está completa.

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Observación (tras el comentario de Taras, y también en la referencia Maurer-Rhodes anterior): a la inversa, para un grupo finito $G$ la propiedad $\Poly(G)=G^G$ implica que $G$ es simple no abeliano o $|G|\le 2$ .

En efecto, si $G$ es no trivial y no simple, entonces tiene un subgrupo normal propio no trivial $N$ y los polinomios tienen la restricción no trivial $f(N)\subset f(1)N$ .

En caso contrario $G=\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ para $p$ primo o $1$ . Para un grupo de este tipo, un "polinomio" tiene la forma (utilizando la notación aditiva) $x\mapsto a+bx$ para algunos $a,b\in\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ (es decir, es un automapa afín en este anillo). Así pues $p^2$ dichas funciones. Y $p^2<p^p$ si $p>2$ .

Answer 2

El hecho de que $\text{Poly}(G)=G^G$ para grupos simples no abelianos se extiende a múltiples variables y este resultado multivariante también es consecuencia de un resultado en álgebra universal. Estos resultados se pueden encontrar fácilmente en el libro Curso de álgebra universal por Stanley Burris y H. P. Sankappanavar.

Decimos que un álgebra $\mathcal{A}$ es permutable por congruencia si $\phi\circ\theta=\theta\circ\phi$ siempre que $\phi,\theta$ son congruencias para $\mathcal{A}$ . Una variedad es permutable por congruencia si cada una de sus álgebras es permutable por congruencia.

Teorema: Una variedad $V$ es permutable por congruencia si y sólo si existe un término $t$ que satisface las identidades $t(x,x,y)=t(y,x,x)=y$ .

Por ejemplo, la variedad de grupos (y también de montones) es permutable por congruencia, ya que la operación de montón $t(x,y,z)=xy^{-1}z$ cumple la identidad $t(x,x,y)=t(y,x,x)=y$ .

Supongamos que $\mathcal{A}$ es un álgebra con un conjunto subyacente $A$ . Sea $\text{Poly}^*(\mathcal{A})\subseteq \bigcup_{n=0}^{\infty}A^{A^n}$ sea el conjunto de todas las funciones de la forma $(x_1,\dots,x_n)\mapsto t^{\mathcal{A}}(x_1,\dots,x_n,a_1,\dots,a_m)$ para algún término $t$ y $a_1,\dots,a_m\in A$ .

Decimos que $\mathcal{A}$ es funcionalmente completa si $\text{Poly}^*(G)=\bigcup_{n=0}^{\infty}A^{A^n}.$

Teorema: Sea $\mathcal{A}$ sea un álgebra finita no trivial donde la variedad $V(\mathcal{A})$ generado por $\mathcal{A}$ es congruente permutable. Entonces $\mathcal{A}$ es funcionalmente completa si y sólo si $|\text{Con}(A^2)|=4$ .

Corolario: (Maurer y Rhodes) Un grupo finito $G$ es funcionalmente completa si y sólo si $G$ es no abeliano y simple o $|G|=1$ .

Pruebas: Para este resultado, sólo necesitamos demostrar $\leftarrow$ ya que la dirección $\rightarrow$ es fácil. Supongamos que $G$ es no abeliano y simple. Entonces demostraremos que $G\times G$ sólo tiene cuatro subgrupos normales, a saber $\{e\}^2,\{e\}\times G,G\times\{e\},G\times G$ . Sea $N$ sea un subgrupo normal de $G\times G$ .

Si $N\subseteq G\times\{e\}$ entonces como $G$ es simple, sabemos que $N=G\times\{e\}$ o $N=\{e\}^2$ . Del mismo modo, si $N\subseteq\{e\}\times G$ entonces $N=G\times\{e\}$ o $N=\{e\}^2$ .

Supongamos ahora que $N\not\subseteq G\times\{e\}$ y $N\not\subseteq\{e\}\times G$ . Luego están $a,b,c,d\in N$ donde $(a,b),(c,d)\in N$ pero dónde $a\neq e$ y $d\neq e$ . Desde $a\neq e$ hay algo de $r\in G$ con $a\neq rar^{-1}$ . En este caso $(rar^{-1},b)(a,b)^{-1}=(rar^{-1}a^{-1},e)\in N$ . En particular, $N$ contiene algún elemento de la forma $(\alpha,e)$ donde $\alpha\neq e$ . Así, puesto que $N$ es simple, sabemos que $G\times\{e\}\subseteq N$ . Por un argumento análogo, $\{e\}\times G\subseteq N.$ Por lo tanto, puesto que $(\alpha,\beta)=(\alpha,e)(e,\beta)$ concluimos que $N=G\times G$ . Pero el teorema anterior y por el hecho de que la variedad de grupos es congruente permutable, concluimos que $G$ es funcionalmente completa.

Q.E.D.

El resultado de Maurer y Rhodes fue mencionado por primera vez por Benjamin Steinberg en los comentarios, y el resultado de Maurer y Rhodes es una generalización de la respuesta de Ycor.