¿Cuál es la importancia de las formas hermíticas en anillos locales?

Question

Soy un estudiante de primer año de matemáticas en la UNMSM, en Lima, Perú. Mi padre es un hombre de 80 años, un profesor universitario jubilado, doctor en matemáticas puras y un ávido algebraista. Mantuvo sus facultades mentales perfectamente hasta hace un año, cuando un derrame cerebral le quitó algunas partes de su memoria y personalidad. Su amor por las matemáticas no se desvaneció instantáneamente, pero su interés en hablar sobre ello disminuyó a medida que le resultaba cada vez más difícil seguir las ideas que se le presentaban. Normalmente se abstenía de hacer comentarios cuando compartía algo que encontraba interesante sobre matemáticas. Él me dice "claro que sí o claro que no, pero a quién le importa" (cosas bastante básicas, cálculo o teoría de números básica, en su mayoría).

En el pasado hablaba apasionadamente sobre teoría de anillos, álgebra homológica, entre otros temas. Le impresiona cómo existen estructuras y teorías como estas, y los hermosos teoremas que se prueban en ellos.

En particular, fue sobre "Formas hermíticas en anillos locales". ¿Alguien podría darme la significancia y resultados interesantes de este campo para poder intentar tener conversaciones nuevamente con mi papá?

Answer 1

Un anillo local (conmutativo) es un anillo con exactamente un ideal maximal; usualmente esto se denota como un par $(R,\mathfrak{m})$.

Una involución en un anillo conmutativo $R$ es un homomorfismo de anillos (no triviales) $J\colon R\to R$ que satisface $J\circ J=\operatorname{Id}_R$.

Ejemplo: Los números complejos $\mathbb{C}$ con la conjugación compleja.

Más generalmente, una extensión de Galois $E/F$ con grupo de Galois de orden dos siempre tiene tal involución. En particular, cualquier campo numérico cuadrático la tiene.

Ahora, un módulo finitamente generado $M$ sobre un anillo con involución que también admite una involución $J'\colon M\to M$ que satisface $$ J'(rm)=J(r)J'(m) $$ para todo $r\in R$ y $m\in M$ da un módulo $(R,J)$-hermítico.

Ejemplo: Para $\mathbb{C}$ con la conjugación compleja, el espacio vectorial $\mathbb{C}^n$ tiene la estructura hermítica dada por $J'(z_1,\ldots,z_n)=(\bar{z_1},\ldots,\bar{z_n})$.

Tales módulos hermíticos sobre anillos locales hermíticos ocurren en Teoría de números, por ejemplo cuando se consideran localizaciones de anillos de enteros en extensiones cuadráticas de Galois.