¿Cómo mostrar indirectamente que $A^3+B^3+C^3 - 3ABC = (A+B+C)(A+B\omega+C\omega^2)(A+B\omega^2+C\omega)$?

Question

Encontré esta increíblemente hermosa identidad aquí. ¿Cómo demostrar que $A^3+B^3+C^3 - 3ABC = (A+B+C)(A+B\omega+C\omega^2)(A+B\omega^2+C\omega)$ sin directamente multiplicando los factores? (He ya verificado lo de esa manera). Por otra parte, ¿cómo podría alguien posiblemente encontrar tal factorización utilizando números complejos? ¿Es posible encontrar tal factorización porque $A^3+B^3+C^3 - 3ABC$ es un polinomio simétrico en $A,B,C$?

Answer 1

Sabemos que $(A+B)\mid(A^n+B^n)$ $n$ impares. ¿Y con tres términos? Calcular

$$\mod A+B+C:\quad A^3+B^3+C^3\equiv-(B+C)^3+B^3+C^3\equiv-3BC(B+C)\equiv 3ABC.$$

Así $(A+B+C)\mid(A^3+B^3+C^3-3ABC)=f(A,B,C)$. Más

$$f(A,B,C)=f(A,\omega B,\bar{\omega}C)=f(A,\bar{\omega}B,\omega C)=\rm etc.$$

por la inspección para ambos $A+\omega B+\bar{\omega}C$ y $A+\bar{\omega}B+\omega C$ también son factores.

Este argumento explota propiedades de Divisibilidad y simetría inherente. Se generaliza por la primera prueba (utilizando operaciones con matrices) mencionada en mi otra respuesta para calcular $\Phi(G)$ $G$ abeliano.

Answer 2

Sugerencia: Si $A+Bw+Cw^2=0$ $w$ siendo una de las tres raíces cúbicas de la unidad

$\implies -A=Bw+Cw^2$

Cubos que, $(-A)^3=(Bw+Cw^2)^3$

$\implies -A^3=B^3w^3+C^3w^6+3\cdot Bw\cdot Cw^2(Bw+Cw^2)=B^3+C^3+3BC(-A)$

$\implies A+Bw+Cw^2$ es un factor de $A^3+B^3+C^3-3ABC$

Answer 3

Se puede considerar como un polinomio en $A$ y el intento de factor. Así que usted quiere encontrar polinomios en $B$$C$, decir $r,s,t$, de tal manera que

$$(A + r)(A+s)(A+t)=A^3-A(3BC)+B^3+C^3.$$

En particular, usted necesita $r+s+t=0$, y de igual manera tener información acerca de la $rs+st+tr$$rst$. No es difícil ver que las raíces están lineal de los polinomios en $B$$C$, por lo que tienen la forma $a+bB+cC$ por una constante $a$. Usted puede conectar esta representación en las tres ecuaciones que tienes de mirar los coeficientes y resolver.

Si usted necesita ayuda para empezar en las ecuaciones resultantes, tenga en cuenta que $rst$ no tiene término constante, de modo que al menos una de las raíces no tiene término constante.

Answer 4

Esta es una $3\times3$ circulantes determinante que es un caso especial de un grupo de determinante ($G=C_3$).

Deje $\{X_g\}$ ser un conjunto de variables formales indexados por los elementos de un grupo de $G$, $\Phi(G):=\det(X_{gh^{-1}})$ definimos el grupo determinante. KCd tiene un conjunto de notas sobre estos objetos en la historia de la teoría de la representación, e incluye dos pruebas de la factorización

$$\Phi(G)=\prod_{\chi\in\widehat{G}}\left[\sum_{g\in G}\chi(g)X_g\right]$$

para finitos abelian grupos $G$. La primera prueba de muestra de cada factor linear divide $\Phi(G)$ mediante la invocación de filas de la matriz de operaciones, el otro presenta los factores como los valores propios de una transformación lineal.

Más generalmente, la invocación de la descomposición de Wedderburn rendimientos arbitrarias finito $G$

$$\Phi(G)=\prod_{\rho~\rm irred}\det\left(\sum_{g\in G}X_g\rho(g)\right)^{\deg\rho}. $$