Otra conjetura sobre un círculo intrínsecamente ligado a cualquier triángulo

Question

Dado un triángulo cualquiera $ABC$ tracemos dos círculos con centro en $A$ , $C$ y pasando por $B$ .

Estos círculos determinan un punto $F$ que corresponde a la (otra) intersección de los dos círculos.

Prolonguemos ahora los lados $AB$ y $BC$ de forma que estas prolongaciones intersecten los dos círculos en $H$ , $G$ .

Mi conjetura es que los puntos $AFCGH$ siempre determinan un círculo.

¿Existe una prueba elemental de tal conjetura?

Este post está relacionado con este otro Una conjetura relacionada con un círculo intrínsecamente ligado a cualquier triángulo .

Pido disculpas en caso de que sea un resultado obvio. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Primero mostraré que $ACGH$ está inscrito:

Desde $\triangle ABH$ y $\triangle BCG$ son isósceles y además $\angle ABH=\angle CBG$ entonces son similares, lo que implica que $\angle BAH= \angle BCG$ de ahí la reclamación.

La isoscelesidad implica que $\angle CGB=\angle CBG=\angle CAB+\angle ACB$

Pero ahora de forma similar puedes demostrar que $\triangle ACB$ y $\triangle ACF$ son congruentes - tienen $3$ lados correspondientemente iguales

Esto implica que $\angle CGB=\angle CBG=\angle CAB+\angle ACB=\angle CAF+\angle ACF=180-\angle AFC$

Por lo tanto $AFCG$ está inscrito y como tiene $3$ puntos en común con $ACGH$ entonces obtenemos que

$AFCGH$ está inscrito. QED