¿Dos líneas en un hiperplano que no se cruzan ni son paralelas?

Question

Así que no era una pregunta sino una afirmación. Al menos yo no logro entender cómo se cruzan. La pregunta es: Hallar una ecuación del hiperplano que contiene las rectas q(t) = (t,t,t,1) y f(t) = (1,t,1+t,t), t $\in$ $\Re$

Necesito dos cosas para responder a la pregunta. Primero, encontrar el punto. Está claro que las rectas no son paralelas, pero ¿ q(t) = f(t) alguna vez? No en mis cálculos. Así que no se intersecan. Agradecería que alguien me lo verificara o me dijera lo equivocado que estoy. Segundo encontrar 't'. No lo he hecho.

Answer 1

Supongamos que existe $t,s \in \mathbb{R}$ tal que $q(t) = f(s)$ . Entonces $(t,t,t,1) = (1,s,s+1,s) \implies (t-1,t-s,t-s-1,1-s) = (0,0,0,0)$ . Observe que $t-1 = 0 \implies t=1$ y $1-s = 0 \implies s =1$ . Sin embargo, $t-s-1 = 1 -1 -1 = -1 \neq 0$ . Por lo tanto, esto es imposible

Answer 2

Las líneas no se cruzan. Imagina dos líneas en un espacio tridimensional que apuntan en direcciones diferentes y no se cruzan. Por ejemplo, una que apunte de norte a sur, al nivel del suelo, y otra que apunte de este a oeste, a tres metros sobre el nivel del suelo. Se llaman líneas oblicuas.
Este hiperplano es un subconjunto tridimensional de $\mathbb{R}^4$ . Es el conjunto de puntos $(w,x,y,z)$ para lo cual $aw+bx+cy+dz=e$ .
Debes encontrar los números $a,b,c,d$ y $e$ .
$at+bt+ct+d=e$ para cada $t$ por lo que ambos $a+b+c+d=e$ y $0+0+0+d=e$ .
Obtienes dos ecuaciones más de la otra línea.

Answer 3

Usted no quieren que las dos líneas sean paralelas o se crucen.

Si estuviera trabajando en $\mathbb R^3$ (un espacio tridimensional) y buscabas un plano bidimensional que contuviera dos líneas, las líneas tendrían que ser paralelas o bien intersecarse, porque hay no hay otro tipo de líneas contenidas en un plano bidimensional.

Pero tienes puntos con cuatro coordenadas, es decir, estás trabajando en $\mathbb R^4$ y necesitas identificar un hiperplano en ese espacio. Presumiblemente, usted está buscando uno de los muchos tridimensional hiperplanos que existen en ese espacio de cuatro dimensiones.

Si sus dos líneas fueran paralelas o se intersecaran, se encontrarían dentro de un único plano bidimensional dentro de $\mathbb R^4$ , y habría infinitos hiperplanos tridimensionales que contuvieran a ese plano (y por tanto contuvieran a ambas líneas). Su única esperanza de identificar el hiperplano deseado de forma única es si las dos líneas no se encuentran en un mismo plano.

Una analogía en el espacio tridimensional es que se puede identificar unívocamente un plano bidimensional utilizando sólo tres puntos, pero sólo si los tres puntos no están todos en la misma línea.