Que $M$ $N$ ser dos colectores conectados de la misma dimensión $n$. ¿Qué es el grupo fundamental de la suma conectada $M \# N$ $\pi_1(M)$ y $\pi_1(N)$?
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Fred
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Considere el siguiente abra las cubiertas de $M,N,$$M\#N$:
$$M=U_1\cup U_2$$ where $U_1$ is $M$ without a point inside the small open ball we remove and $U_2$ es la pequeña bola que podemos eliminar para realizar el conectado operación de suma;
$$N=V_1\cup V_2$$ where $V_1$ is $N$ without a point inside the small open ball we remove and $V_2$ es la pequeña bola que podemos eliminar para realizar el conectado operación de suma;
$$M\#N=W_1\cup W_2$$ where $W_1$ is homotopy equivalent to $U_1$ and $W_2$ is homotopy equivalent to $V_1$, and each covers $U_1$ or $V_1$ respectively, plus a small collar neighborhood of the sphere we glue on which originally lived in $V_1$ or $U_1$ respectivamente.
Entonces, asumiendo que tenemos que $M$ $N$ son de dimensión 2 o superior, podemos aplicar Seifert-Van Kampen a cada una de estas situaciones (¿por qué la restricción? SVK necesidades de la intersección de la cobertura de los conjuntos de ruta de acceso conectado - esto no es cierto para 1-variedades, pero siempre es cierto para los colectores de dimensiones superiores. También, usted puede del estudio de antecentes del 1-colector de situación - el único 1-colectores hasta homeomorphism se $S^1, [0,1],[0,1),(0,1)$.). Para cada uno de ellos cubre, la intersección de los bloques abiertos es homotopy equivalente a $S^{n-1}$ donde $n$ es la dimensión de la $N$.
Tenemos que $\pi_1(U_2)\cong\pi_1(V_2)\cong 0$, como son contráctiles. El siguiente cálculo depende de la dimensión de $n$ $N$ algo: En el caso de que $n>2$, $\pi_1(U_1\cap U_2)\cong\pi_1(V_1\cap V_2)\cong\pi_1(W_1\cap W_2)\cong 0$, y por lo $\pi_1(U_1)\cong\pi_1(M)$$\pi_1(V_1)\cong\pi_1(N)$. Sabiendo esto, el pushout cuadrados dada por Van Kampen se convierte en el producto libre de los grupos fundamentales: $\pi_1(M) \ast \pi_1(N)$.
En el caso de que la dimensión de $M$ $N$ es 2, las cosas no son tan inmediatos. Con el conocimiento de que $\pi_1(U_1\cap U_2)\cong\pi_1(V_1\cap V_2)\cong \pi_1(W_1\cap W_2)\cong \mathbb{Z}$, el pushout plazas puede obtener una especie de desorden - considere el ejemplo de la 2-toro: el grupo fundamental del toro, menos un pequeño disco es el grupo en 2 generadores, mientras que el grupo fundamental de que el toro es el libre abelian grupo en dos generadores.
Pero como estamos en una baja dimensión, somos salvos por las limitaciones que esto impone en los colectores. Por la clasificación de las superficies (2-variedades), cada 2-colector (posiblemente con límite) es homeomórficos a uno y sólo uno de los siguientes: $$S^2\#^b D^2, \#^h \mathbb{R}P^2\#^b D^2, \#^g T\#^b D^2$$ where $T$ is the 2-torus. By using a presentation of each of these surfaces as an $$n-gon, es posible calcular el grupo fundamental de forma explícita. Por desgracia, esto depende de saber lo que los colectores están conectados-la suma de: el reconocimiento de una superficie (posiblemente con límite) de una arbitraria de la presentación de su grupo fundamental es un problema muy difícil. Incluso reconocer si un grupo dado por generadores y relaciones es trivial o no es un problema que se ha demostrado no tener solución.
