$A^2$ es isomorfo a $A^{(\omega)}$ pero no $A$

Question

¿Existe un grupo abeliano $A$ con $A\not\cong A\oplus A\cong A\oplus A\oplus A\oplus\cdots$ (suma directa de un número contable de copias de $A$ )?

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Editado para añadir: Como no hay respuestas, ¿alguien sabe qué pasa si permitimos módulos arbitrarios en lugar de grupos abelianos?

Answer 1

Este es un largo comentario en respuesta a Simon Henry's pregunta en los comentarios a la pregunta original.

El periódico

Rincón A.L.S.
Sobre una conjetura de Pierce relativa a las descomposiciones directas de grupos abelianos
Proc. Colloq. Abelian Groups, Tihany, 1963, Akadémiai Kiadó, Budapest (1964), pp. 43-48

es un ejemplo de grupo abeliano $G$ tal que $G\cong G\oplus G\oplus G$ y $G\not\cong G\oplus G$ . No tengo acceso al documento, así que no puedo decir si el ejemplo de Corner resolverá la pregunta original de esta página. Aquí están las dos primeras frases del Matemáticas escrito por R. S. Pierce:

Se demuestra que para cualquier entero positivo $r$ existe un grupo abeliano libre de torsión contable $G$ tal que la suma directa de $m$ copias de $G$ es isomorfa a la suma directa de n copias de $G$ sólo si $m\equiv n\pmod{r}$ . Este notable resultado se obtiene a partir del teorema del autor sobre la existencia de grupos libres de torsión que tienen un anillo de endomorfismo prescrito contable, reducido y libre de torsión mediante la construcción de un anillo con propiedades adecuadas.