Evaluación de $\lim_{a \to 0} \frac{\tan(x+a)-\tan x}{a}$

Question

Necesito ayuda con este límite: $$\lim_{a \to 0} \frac{\tan(x+a)-\tan x}{a}$$

He intentado utilizar el $$\tan(a-b) = \frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$$ con $(x+a)$ como $a$ y $(x)$ como $b$ pero con dificultades para ir más allá.

Answer 1

La mejor manera de hacer este problema es darse cuenta de que el límite es, por definición, $\tan ' (x)$ . Sabiendo que $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ y sabiendo $\sin '(x) = \cos x$ y $\cos ' (x) = -\sin x$ se puede calcular el límite con la regla del cociente.

Como has dicho en un comentario, la clave para hacer este problema de frente sin calcular primero $\sin'(x)$ y $\cos '(x)$ es utilizar la identidad $$\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}$$ Sustituyendo, tenemos $$\begin{align} \frac{\tan(x + a) - \tan x}{a} &= \frac{\frac{\tan x + \tan a}{1 - \tan x \tan a} - \tan x}{a} \\&=\frac{\tan x + \tan a - (1 - \tan x \tan a) \tan x}{a(1 - \tan x \tan a)} \\&= \frac{\tan x + \tan a(1 + \tan^2 x) - \tan x}{a - a\tan x \tan a} \\&= \frac{\tan a \sec^2 x}{a - a \tan x \tan a} \\&= \frac{\tan a}{a} \cdot \frac{1}{1 - \tan x \tan a} \cdot \sec^2 x \end{align}$$ Así que, si podemos mostrar $\lim_{a \to 0} \frac{\tan a}{a} = 1$ y $\lim_{a \to 0} \frac{1}{1 - \tan x \tan a} = 1$ habremos llegado al resultado esperado.

El segundo límite es fácil. $$\lim_{a \to 0} \frac{1}{1 - \tan x \tan a} = \frac{1}{1 - \tan x \lim_{a \to 0} \tan a} = \frac{1}{1 - \tan x \cdot 0} = 1$$ El primer límite es un poco más complicado. Por motivos geométricos, se puede argumentar que $$\cos a \leq \frac{\sin a}{a} \leq 1$$ Por lo tanto $$1 \leq \frac{\tan a}{a} \leq \sec a$$ Desde $\lim_{a \to 0} \sec a = 1$ el teorema del apretón nos dice que $\lim_{a \to 0} \frac{\tan a}{a} = 1$ .

Ahora todo lo que tenemos que hacer es pasar el límite en el cálculo del cociente de diferencias anterior, utilizar los dos límites que acabamos de "demostrar" (podría ser necesaria una demostración más cuidadosa dependiendo de las exigencias del curso), y concluir que el límite es $\sec^2 x$ .

Answer 2

El límite se ajusta a la definición de derivada de $\tan x$ .

Si conoce la respuesta sólo tiene que

$$\lim_{a \to 0} =\frac{\tan(x+a)-\tan(x)}{a} = \frac {d}{dx} (\tan x) = \sec ^2 x$$

Si no sabes la respuesta de inmediato, intenta utilizar la regla del cociente en $\frac {\sin x}{\cos x}$ para obtener el resultado.

Answer 3

$$\lim_{a \to 0} \frac{\tan(x+a)- \tan x}{a}= \lim_{a \to 0} \frac{\frac{\sin(x+a)}{\cos(x+a)}- \frac{\sin x}{\cos x}}{a}\\ =\lim_{a \to 0} \frac{\cos x \sin(x+a)-\sin x \cos (x+a)}{a(\cos x \cos (x+a))}\\ = \lim_{a \to 0} \frac{\cos x (\sin x \cos a + \cos x \sin a) - \sin x (\cos x \cos a - \sin x \sin a)}{a\cos x \cos (x+a)}\\ = \lim_{a \to 0} \frac{\sin a (\cos^2 x+ \sin^2 x)}{a \cos x \cos (x+a)}= \lim_{a \to 0} \frac{\sin a}{a} \frac {1}{\cos x \cos (x+a)}= \frac {1}{\cos^2 x}= \sec^2 x.$$

Answer 4

$\begin{align} {\tan(x+a) - \tan(x) \over a} &={1\over a}\left({\tan(x) + \tan(a) \over 1-\tan(x)\tan(a)} - \tan(x)\right) \cr &= {\tan(x)+\tan(a) - \tan(x)(1-\tan(x)\tan(a))\over a(1-\tan(x)\tan(a))} \cr &= \left({\tan a \over a}\right) \left( {1 + \tan^2(x) \over 1-\tan(x)\tan(a)} \right) \end{align}$

Utilizo $\tan(a)$ serie taylor para el límite: $\tan(a) = a + O(a^3)$

$\begin{align} \displaystyle{\lim_{a \to 0} {\tan(x+a) - \tan(x) \over a}} &= \displaystyle{\left(\lim_{a \to 0}{\tan a \over a}\right)} \left(\displaystyle{\lim_{a \to 0}{1 + \tan^2(x) \over 1-\tan(x)\tan(a)}} \right) \cr &= \displaystyle{\left(\lim_{a \to 0}{a \over a}\right)} \left(\displaystyle{\lim_{a \to 0}{1 + \tan^2(x) \over 1-a\;\tan(x)}} \right) \cr &= (1)\left({\sec^2(x) \over 1-0} \right) \cr &= \sec^2(x) \end{align}$