$2013\times2013$ Junta con no trominós.

Question

Que A ser un tablero de $2013\times2013$ $k$ negro cuadrados y que contiene no $L$ en forma de trominós negro (en cualquier rotación) y tal que si cualquiera blanco Plaza se tiñe de negro entonces $A$ contiene un negro $L$ en forma trominoe. ¿Cuál es el valor mínimo de $k$?

Supongo que su $2013\times671$
donde nos de color cada columna es $\equiv 2 \bmod 3$. No tengo idea cómo demostrarlo menos aunque

Answer 1

Otro patrón que se trabaja este aspecto:

Más explícitamente; en primer lugar dejar en blanco todos los $2\times2013$ plazas en las filas 2 y 2012. A continuación, negro todos los $2\times2007$ plazas en las columnas $2$ $2012$ que no son adyacentes a un cuadrado negro. A continuación, negro todos los $2\times2007$ plazas en las filas de la $5$ $2009$ que no son adyacentes a un cuadrado negro. Etcétera.

EDIT: he cometido un error en el cálculo. Esta coloración no es una mejora.

De esta manera filas $2+3n$ $2012-3n$ cada una cadena de $2013-6n$ negros consecutivos plazas para cada $n\leq334$. Del mismo modo columnas $2+3n$ $2012-3n$ cada una cadena de $2013-6(n+1)$ negros consecutivos plazas para cada $n\leq334$. Esto deja a $3$ consecutivos cuadrados negros en fila $1007$. Como cada cuadrado negro es precisamente en uno de esos cadena, este cubre todos los cuadrados negros. Resumiendo se obtiene el número de $k$ de los cuadrados de color negro;

$$k=3+\sum_{n=0}^{334}[2\cdot(2013-6n)+2\cdot(2013-6(n+1))]=1350723.$$

Este es el mismo número que para el colorante se describe en la pregunta; colorear cada tercera columna de negro, a partir de la segunda.

Un enfoque para determinar el límite inferior es el siguiente: Cada cuadrado negro es adyacente a la mayoría de los ocho cuadrados blancos. Cada cuadrado blanco es adyacente a al menos dos cuadrados de color negro. El número de cuadrados en blanco es $2013^2-k$, dando lugar a la desigualdad $$8k\geq2(2013^2-k),$$ de donde se desprende que el $k\geq810434$. Este límite inferior se puede mejorar señalando que, en muchas maneras en las adyacencias se pierdan en los cuadrados negros de estar al lado de uno al otro. Por ejemplo:

Cada cuadrado blanco es adyacente a al menos dos adyacentes plazas de nuevo. Estos dos cuadrados de color negro son, por tanto, adyacente a la mayoría de los siete cuadrados blancos. De esta manera un total de $2(2013^2-k)$ adyacencias se pierden, dos para cada cuadrado blanco, si no que algunas parejas se cuentan más de una vez. Cada par adyacente cuadrados de color negro tiene más de cuatro cuadrados blancos junto a ambos, por lo tanto cada par de la pérdida de adyacencias es contado en más de cuatro veces, es decir, al menos $\tfrac{1}{2}(2013^2-k)$ adyacencias se pierden. Este rendimientos $$8k-\tfrac{1}{2}(2013^2-k)\geq2(2013^2-k),$$ de donde se desprende que el $k\geq964803$.