Un problema sobre funciones de conjunto subaditivas

Question

Sea $(\Omega, \mathcal{A})$ sea un espacio medible, y sea $\mu: \mathcal{A} \to [0,+\infty)$ sea una función de conjunto subaditiva monótona. Sea moroever $A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{A}$ sea una secuencia de conjuntos medibles. Es fácil demostrar que $\mu(A_n) \to 0 \Rightarrow \mu(A_n^c) \to \mu(\Omega)$ . Por el contrario, no soy capaz ni de probar la implicación contraria, a saber $\mu(A_n) \to \mu(\Omega) \Rightarrow \mu(A_n^c) \to 0$ ni encontrar un ejemplo que la infrinja. ¿Puede alguien encontrar uno u otro?

Answer 1

No es cierto que $\mu(A_n) \to \mu(\Omega) \implies \mu(A_n^c) \to 0$ . Considere $\mathbb{R}$ dotado de la Lebesgue $\sigma$ -álgebra. Sea $A_n = [0,n]$ . Entonces $\mu(A_n) = n \to +\infty = \mu(\mathbb{R})$ pero $\mu(A_n^c) = +\infty$ para todos $n$ .