Ya que buscas números con 3 cifras distintas, considera este juego de cartas que he ideado.
Tienes 10 cartas etiquetadas $0$ a $9$ :
$$\boxed{1}\,\boxed{2}\,\boxed{3}\,\boxed{4}\,\boxed{5}\,\boxed{6}\,\boxed{7}\,\boxed{8}\,\boxed{9}\,\boxed{0}$$
...y 3 ranuras (centenas, decenas, unidades) denotadas por:
$$\heartsuit \,\spadesuit\, \clubsuit$$
Existen $9$ formas de colocar una tarjeta en el $\heartsuit$ porque no se puede utilizar $\boxed 0$ . Entonces usted tiene $9$ cartas restantes para poner en el $\spadesuit$ y finalmente $8$ tarjetas en el $\clubsuit$ . Esto hace un total de $9 \times 9 \times 8=648$ números con 3 cifras diferentes.
Para encontrar los números con dígitos en orden ascendente, considere si pone $1$ en $\heartsuit$ . Usted tiene $7$ tarjetas para elegir $(2, 3, 4, ..., 8)$ para poner en $\spadesuit$ .
- Si selecciona $12\clubsuit$ , tienes $7$ opciones $(3, 4, ..., 9)$ para $\clubsuit$
- Si selecciona $13\clubsuit$ , tienes $6$ opciones $(4, 5, 6, ..., 9)$ para $\clubsuit$
Puede ver el número total de números que empiezan por $1$ y tienen dígitos ascendentes es
$$ \begin{align*} 7+6+5 +4+ \cdots + 1\\ +6+5+4+\cdots +1\\ +5+4+\cdots +1\\ \ddots \vdots\\ +1\\ =84 \end{align*} $$
Haga lo mismo con los dígitos que empiezan por $2$ en $\heartsuit$ . Usted tiene $6$ tarjetas para elegir poner en $\spadesuit$ y posteriormente, $6, 5, 4, ...$ tarjetas para poner en $\clubsuit$ dependiendo del número en $\spadesuit$ .
El número total de números que empiezan por $2$ y tienen dígitos ascendentes es
$$ \begin{align*} 6+5+4+\cdots +1\\ +5+4+\cdots +1\\ \ddots \vdots\\ +1\\ =56 \end{align*} $$
Hazlo hasta el último número, que es $789$ . (No se puede poner $8$ o $9$ en $\heartsuit$ o empatarías a muerte las 2 posiciones siguientes). Hay un total de $7$ términos en esta suma. Los siguientes números son $35, 20, 10, 6, 3, 1$ con un total de $215$ .
Para números descendentes, hay $8$ formas de colocar una tarjeta $\heartsuit$ . No se puede poner $0$ ; y poniendo $1$ te dejará dibujando muertos. Si pones $9$ en $\heartsuit$ puede elegir entre $8$ tarjetas para el $\spadesuit$ . Puedes ver el patrón para el último dígito... así que vayamos a las matemáticas.
El número total de números que empiezan por $9$ y tienen dígitos descendentes es
$$ \begin{align*} 8+7+6+5 +4+ \cdots + 1= 36 \end{align*} $$
Ahora, considera que pones $4$ en $\heartsuit$ . Puede elegir entre $3$ tarjetas para la segunda posición. Dependiendo de la elección, puede elegir $3, 2$ o $1$ tarjeta. La suma sería
$$ 3+2+1 = 6 $$
Los términos de esta suma son $36, 28, 21, 15, 10, 6, 3, 1$ y esto hace un total de $120$
Yo apostaría por $648-215-120 = 313$
