Números de 3 cifras con condiciones

Question

¿Cuántos números naturales de 3 cifras distintas hay que no tengan cifras consecutivas (ascendentes o descendentes)?

Lo he solucionado enumerando las exclusiones, pero ¿hay alguna forma más hábil?

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Como ha sugerido un colaborador, doy la respuesta, que es 399. En cualquier caso, se puede comprobar fácilmente por ordenador. La cuestión que planteo es si existe algún método combinatorio ingenioso para obtener la respuesta. Me he limitado a categorizar las exclusiones según el sentido común, contar los números de cada categoría y restarlos del número de números distintos de 3 cifras.

Answer 1

Ya que buscas números con 3 cifras distintas, considera este juego de cartas que he ideado.

Tienes 10 cartas etiquetadas $0$ a $9$ :

$$\boxed{1}\,\boxed{2}\,\boxed{3}\,\boxed{4}\,\boxed{5}\,\boxed{6}\,\boxed{7}\,\boxed{8}\,\boxed{9}\,\boxed{0}$$

...y 3 ranuras (centenas, decenas, unidades) denotadas por:

$$\heartsuit \,\spadesuit\, \clubsuit$$

Existen $9$ formas de colocar una tarjeta en el $\heartsuit$ porque no se puede utilizar $\boxed 0$ . Entonces usted tiene $9$ cartas restantes para poner en el $\spadesuit$ y finalmente $8$ tarjetas en el $\clubsuit$ . Esto hace un total de $9 \times 9 \times 8=648$ números con 3 cifras diferentes.

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Para encontrar los números con dígitos en orden ascendente, considere si pone $1$ en $\heartsuit$ . Usted tiene $7$ tarjetas para elegir $(2, 3, 4, ..., 8)$ para poner en $\spadesuit$ .

• Si selecciona $12\clubsuit$ , tienes $7$ opciones $(3, 4, ..., 9)$ para $\clubsuit$
• Si selecciona $13\clubsuit$ , tienes $6$ opciones $(4, 5, 6, ..., 9)$ para $\clubsuit$

Puede ver el número total de números que empiezan por $1$ y tienen dígitos ascendentes es

$$\begin{align*} 7+6+5 +4+ \cdots + 1\\ +6+5+4+\cdots +1\\ +5+4+\cdots +1\\ \ddots \vdots\\ +1\\ =84 \end{align*}$$

Haga lo mismo con los dígitos que empiezan por $2$ en $\heartsuit$ . Usted tiene $6$ tarjetas para elegir poner en $\spadesuit$ y posteriormente, $6, 5, 4, ...$ tarjetas para poner en $\clubsuit$ dependiendo del número en $\spadesuit$ .

El número total de números que empiezan por $2$ y tienen dígitos ascendentes es

$$\begin{align*} 6+5+4+\cdots +1\\ +5+4+\cdots +1\\ \ddots \vdots\\ +1\\ =56 \end{align*}$$

Hazlo hasta el último número, que es $789$ . (No se puede poner $8$ o $9$ en $\heartsuit$ o empatarías a muerte las 2 posiciones siguientes). Hay un total de $7$ términos en esta suma. Los siguientes números son $35, 20, 10, 6, 3, 1$ con un total de $215$ .

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Para números descendentes, hay $8$ formas de colocar una tarjeta $\heartsuit$ . No se puede poner $0$ ; y poniendo $1$ te dejará dibujando muertos. Si pones $9$ en $\heartsuit$ puede elegir entre $8$ tarjetas para el $\spadesuit$ . Puedes ver el patrón para el último dígito... así que vayamos a las matemáticas.

El número total de números que empiezan por $9$ y tienen dígitos descendentes es

$$\begin{align*} 8+7+6+5 +4+ \cdots + 1= 36 \end{align*}$$

Ahora, considera que pones $4$ en $\heartsuit$ . Puede elegir entre $3$ tarjetas para la segunda posición. Dependiendo de la elección, puede elegir $3, 2$ o $1$ tarjeta. La suma sería

$$3+2+1 = 6$$

Los términos de esta suma son $36, 28, 21, 15, 10, 6, 3, 1$ y esto hace un total de $120$

Yo apostaría por $648-215-120 = 313$

Answer 2

Parece que no estás permitiendo números como $182$ porque el $1$ y $2$ son vecinos. Permitamos primero que los números empiecen por $0$ . Entonces tenemos que encontrar tres dígitos sin unos adyacentes, luego multiplicar por $6$ para las órdenes. Que haya $F(n)$ combinaciones de tres dígitos de $n$ posibilidades sin vecinos. Deje también que $G(n)$ sea el número de combinaciones de dos dígitos sin vecinos y $H(n)$ ser combinaciones de un dígito sin vecinos. Claramente $H(n)=n$ . Para $G(n),$ el primer elemento se incluye o no. Si lo está, tenemos $H(n-2)$ opciones. Si no, tenemos $G(n-1)$ elecciones. Así que $G(n)=n-2+G(n-1), G(2)=0.$ Encontramos $G(n)=\frac 12(n-2)(n-1)$ . Entonces $F(n)=G(n-2)+F(n-1)=\frac 12(n-4)(n-3)+F(n-1), F(4)=0$ por el mismo razonamiento. Esto da $F(n)=\frac 16(n-4)(n-3)(n-2)$ Ahora podemos aplicar la restricción del cero a la izquierda. Hay $F(9)=35$ combinaciones sin cero, dando $210$ números y $G(8)=21$ opciones con cero, dando $63$ elecciones. El total que obtengo es $273$ . Puesto que esto no es $399$ probablemente no estoy contando lo mismo que tú.

Añadido: basado en el comentario de Peter Phipp, ignorar el problema si el primer y el último dígito son adyacentes. Empecé a hacerlo por casos, pero no era hábil. La interacción de dígitos distintos a través del número y no dos adyacentes hizo un lío.

Answer 3

Esperaba un método más hábil que el que yo había utilizado, pero como no ha aparecido nada, expongo mi método con la esperanza de que alguien pueda mejorarlo.

Los números no pueden empezar por 0, así que #s totales = 9*9*8 = 648

Esta parte es fácil.

Es más fácil contar exclusiones que casos favorables

Tenemos que excluir cualquier 2 o 3 juntos

01 juntos: 2-9 precedente = 8

10 juntos: 2-9 preceden o suceden = 16

12,23,........89 y 21,32, .......98 juntos (16 patrones)

recuerda, 0 no puede preceder, así que

7 dígitos pueden preceder, 8 suceder, => 16*15 = 240

Pero contamos 123.234, ...789 y 321.432, .. 987,

y también 210 dos veces, y tenemos que corregir esto

total de exclusiones = 8+16+240 - 15 = 249

respuesta: 648 - 249 = 399