Soluciones locales de una ecuación de Diophantine

Question

Estoy tratando de demostrar que la ecuación $$3x^3 + 4y^3 +5z^3 \equiv 0 \pmod{p}$$ tiene un no-trivial solución para todos los números primos $p$. Estoy seguro de que este es un ejercicio normal, y he hecho las partes fáciles: el tratamiento de la $p=2, 3, 5$ como casos especiales (muy simple) y, a continuación, para $p\geq 7$, aquellos para los que $p \equiv 2 \pmod{3}$ también es sencillo, ya que todo es un cúbicos de residuos de $\pmod{p}$, pero tengo un bloqueo mental sobre el resto de los casos donde $p \equiv 1 \pmod{3}$ y sólo el $(p-1)/3$ de los enteros $\pmod{p}$ se cúbicos de residuos.

Tenía la esperanza de ser capaces de demostrar que la ecuación original tiene soluciones no triviales en $\mathbb{Q}_p$, y que este podría ser un primer paso fácil hacia la $p$-ádico caso.

Los punteros o referencias a una prueba (estoy seguro de que debe haber alguna en la literatura) sería de lo más agradecida.

Answer 1

Creo que Selmer el ejemplo está en algún libro que tengo, pero no puedo encontrarlo. Sería natural de la nota de pie de página en cualquiera de mis formas cuadráticas libros, pero hay que ir.

Aquí hay algunas cosas de un libro que no puede estar buscando en la página 79, segunda edición de $p$-ádico Números por Fernando P. Gouvea. Relacionados con su ejemplo es Problema 121, mostrar sus mismas condiciones para $$ (x^2 -2) (x^2 - 17) (x^2 - 34) = 0, $$ que se puede comprobar el ingenio de las raíces racionales teorema. Hmmm. Entonces $$ x^4 - 2 y^2 = 17. $$ Dice no existencia de soluciones racionales es la parte más difícil en este. Creo que este es accesible desde cosas en Mordell el libro de Diophantine Ecuaciones.

El que yo quería conseguir a cómo es $x^2 + y^2 + z^3 = n$ tiene una solución en $\mathbb Z$ por cada $n,$ $n,z$ permitido ser negativo cuando es necesario, pero $$ x^2 + y^2 + z^9 \neq 216 p^3 $$ for positive prime $p \equiv 1 \pmod 4,$ vea Los enteros de la forma $a^2+b^2+c^3+d^3$ y MEEEEE