Encuentre los puntos críticos de cada una de las funciones siguientes y clasifíquelos como máximo, mínimo o ninguno de los dos.

Question

$f ( x , y ) = \ln ( 2 + \sin ( x y ) )$ . Considere sólo el punto crítico $(0,0)$ .

He resuelto la primera y segunda derivadas parciales y veo que ambas son iguales a $0$ en $(0,0)$ . Uno de los ejercicios de mi libro de texto menciona la matriz hessiana y creo que debería utilizarla, pero no estoy seguro de cómo funciona.

$f ( x , y ) = \left( x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } \right) e ^ { 1 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } }$

Para este problema, tomé la primera y segunda derivadas parciales y observé que los puntos críticos se encuentran en $(0,1)$ , $(0,-1)$ y $(0,0)$ . ¿Tengo que usar el Hessian aquí también? ¿Cómo funcionaría?

Answer 1

A veces un gráfico vale más que mil palabras:

Como señala @gimusi, se trata claramente de un punto de silla de montar.

Esta es tu segunda función:

Claramente un mínimo porque para cualquier $r>0$ un punto a una distancia $r$ de $(0,0)$ está por encima del punto en el origen. La segunda derivada con respecto a $x$ evaluado en $(0,0)$ es $e$ ( $>0$ ) y, por tanto, el origen es un mínimo.

Answer 2

Para la primera tenemos

$$f ( x , y ) -f(0,0)= \ln ( 2 + \sin ( x y ) )-\ln 2=\frac{xy}2+o(x^2+y^2)$$

y entonces es un punto de silla de montar.

Para la segunda tenemos

$$f ( x , y ) = \left( x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } \right) e ^ { 1 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } }\ge \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) e ^ { 1 - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } }=r^2e^{1-r^2}=er^2-r^2+o(r^2)$$

que es positivo como $r\to 0$ y por lo tanto es un mínimo.