Todo el mundo conoce la fórmula de Herón para el área de un triángulo en función de sus lados. Pasamos a las tres dimensiones, ¿cuál es la máximo volumen de un tetraedro con cuatro áreas de cara dadas $a$ , $b$ , $c$ y $d$ ?
Obviamente, se trata de un problema de optimización. Por ejemplo, con $a=b=c=d=1$ se puede construir un tetraedro con cualquier volumen entre cero y $\frac{2\sqrt2}{3\sqrt{3\sqrt3}}$ . Este último es el volumen del tetraedro regular de lado 1, y es este tetraedro el que da el máximo volumen (por consideraciones de simetría). El volumen cero lo presenta cualquier tetraedro degenerado (como los "tetraedros" con vértices dados por $$ A=(0,0,0),\quad B=(2,0,0),\quad C=(1+e,1,0),\quad D=(1-e,-1,0), $$ para cualquier $e$ todas tienen cuatro caras 1 y volumen cero).
No se puede construir un tetraedro degenerado para áreas de caras dadas cuando $S_1\not=S_2+S_3+S_4$ y $S_1+S_2\not=S_3+S_4$ para cualquier asignación de $a,b,c,d$ a $S_1,S_2,S_3,S_4$ . Entonces un problema complementario es ¿cuál es la mínimo volumen de un tetraedro con cuatro caras dadas $a$ , $b$ , $c$ y $d$ ?
El problema "máximo" se parece un poco a " Cuál es el área máxima del cuadrilátero dado por sus lados $a$ , $b$ , $c$ y $d$ ? ", para lo cual Fórmula de Brahmagupta da la solución. Véase también esta pregunta y en Internet se pueden encontrar otros muchos estudios sobre este problema planar. En este problema se puede intuir que los cuatro vértices del cuadrilátero de área máxima deben vivir en una circunferencia, y luego proceder a la derivación y demostración de la fórmula. ¿Qué conjetura intuitiva puede hacerse para el volumen máximo del tetraedro?
Sospecho que el volumen máximo se obtiene junto con la suma máxima de los seis ángulos diedros en las seis aristas del tetraedro. En el ejemplo anterior, la suma es $2\pi\approx6.28$ para los tetraedros degenerados y $6\cdot2\arcsin\frac1{\sqrt3}\approx7.39$ para el tetraedro regular. Para apoyar esta intuición, el volumen viene dado por cualquiera de las seis identidades como ésta: $$ 3V\cdot AB=2c d\sin AB_\angle, $$ donde $c$ es el área de la cara opuesta al vértice $C$ y $AB_\angle$ es el ángulo diedro en la arista $AB$ por lo que todos los ángulos diedros deben maximizarse.
A partir de esta suposición, el radio de la esfera circunscrita debería minimizarse, tal vez. No puedo probar esta suposición, pero concuerda con la expresión del área de un triángulo dada por sus lados: $S=4abc/R$ (si encontrar el área del triángulo por sus lados fuera un problema de optimización, entonces se minimizaría la circunferencia).
El problema me lo planteó originalmente Ernst D. Krupnikov que afirma que su solución de forma cerrada es engorrosa y difícil de deducir sin la ayuda de un sistema de álgebra computacional. He aquí un caso particular del problema que puede resultarle divertido resolver: ¿cuál es el volumen máximo del tetraedro con áreas de caras 120, 150, 160, 250?
