Teoría de grupos - Prueba de subconjunto simple

Question

Sea $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ sean cuatro subgrupos finitos del grupo $G$ .

Es $(G_{1}\cap G_{3}) \circ (G_{1}\cap G_{4}) \subseteq G_{1} \cap (G_{3}\circ G_{4})$ ¿Verdad?

Mi intento:

Sea $x \in (G_{1}\cap G_{3}) \circ (G_{1}\cap G_{4})$ puis $x = ab$ donde $a\in G_{1}\cap G_{3}$ y $b\in G_{1}\cap G_{4}$ . De ello se deduce $x\in G_{1}$ y $x \in G_{3}\circ G_{4}$ y por lo tanto $(G_{1}\cap G_{3}) \circ (G_{1}\cap G_{4}) \subseteq G_{1} \cap (G_{3}\circ G_{4})$ es cierto.

Creo que esta es la forma correcta de hacerlo. Mi preocupación es que este ejercicio está tomado de un libro donde tienen la suposición de que $G$ es abeliano y no utilizo esta suposición aquí.

Answer 1

EDIT: OP ha editado la pregunta por lo que lo que sigue ya no es relevante.

No estoy seguro de lo que ese pequeño círculo es, pero no veo por qué $G_3\circ G_4$ debe ser un subconjunto de $G_3\cap G_4$ .

Answer 2

En primer lugar, tengo que expresar mi preocupación por lo que le haya pasado a $G_2$ ¡!

La prueba aportada me parece totalmente correcta. Si quiere ser completamente explícito, podría incluir algunos pasos adicionales, por ejemplo, después de la primera frase podría insertar

"Entonces $a\in G_1$ y $b \in G_1$ Por lo tanto $x = ab \in G_1$ ya que $G_1$ es un subgrupo de $G$ . También, $a\in G_3$ y $b \in G_4$ Por lo tanto $x = ab \in G_3 \circ G_4$ "

La inclusión puede ser estricta; considere $G_1 = \langle(1,1)\rangle,G_3=\langle(0,1)\rangle,G_4=\langle(1,0)\rangle$ sentado dentro $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ .

Una cosa más: no necesitas la condición de finitud, como puedes comprobar fácilmente.