Problema de los espacios estrictamente normados.

Question

Un espacio vectorial normado $(V,\Vert \cdot \Vert)$ es estrictamente normado si $$\Vert x + y\Vert = \Vert x \Vert + \Vert y \Vert$$ con $x,y\neq 0$ sólo si $y = \lambda x$ donde $\lambda >0$ .

(a) Demuestre que $V$ es estrictamente normada si sólo si la esfera $$\sigma_{1}(0) = \{x \in V \mid \Vert x \Vert = 1\}$$ no contiene segmentos.

(b) Pon ejemplos de espacios estrictamente normados y de espacios no estrictamente normados.

Mi intento.

(a) Supongamos que $V$ es estrictamente normada. Tomemos $x, y \in \sigma_{1}(0)$ con $x \neq y$ . Si $y = \alpha x$ con $\alpha > 0$ entonces $$1 = \Vert y \Vert = \alpha \Vert x \Vert = \alpha \Longrightarrow y = x.$$ Además $$\Vert \lambda x + (1-\lambda)y\Vert = \Vert \lambda x \Vert + \Vert(1-\lambda)y\Vert$$ sólo si $(1-\lambda)y = \alpha \lambda x$ Eso es, $\displaystyle y = \left(\frac{\lambda\alpha}{1-\lambda}\right)x$ (podemos tomar $\lambda \in (0,1)$ ), entonces $$\Vert \lambda x + (1-\lambda)y\Vert < \lambda\Vert x \Vert + (1-\lambda)\Vert y \Vert = 1$$ y si $\lambda x + (1-\lambda)y \in \sigma_{1}(0)$ , $\Vert \lambda x + (1-\lambda)y \Vert = 1$ y así, $1<1$ ¡un absurdo!

A la inversa, tomo $x,y \in V$ con $x \neq y$ . Así que.., $\displaystyle \frac{x}{\Vert x \Vert},\frac{y}{\Vert y \Vert} \in \sigma_{1}(0)$ . Pero no sé cómo utilizar la hipótesis. ¿Puede alguien ayudarme?

Edita. $$\left\Vert \lambda \frac{x}{\Vert x \Vert} + (1-\lambda)\frac{y}{\Vert y \Vert}\right\Vert \leq \lambda \frac{\Vert x \Vert}{\Vert x \Vert} + (1-\lambda)\frac{\Vert y \Vert}{\Vert y \Vert} = 1,$$ pero, si $\lambda \in (0,1)$ , $$\left\Vert \lambda \frac{x}{\Vert x \Vert} + (1-\lambda)\frac{y}{\Vert y \Vert}\right\Vert \not\in \sigma_{1}(0),$$ entonces $$\left\Vert \lambda \frac{x}{\Vert x \Vert} + (1-\lambda)\frac{y}{\Vert y \Vert}\right\Vert < 1.$$

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(b) Considere la norma euclidiana $\Vert \cdot \Vert_{E}$ y la norma de suma $\Vert \cdot \Vert_{\infty}$ . Así que.., $(\mathbb{R}^{n},\Vert \cdot \Vert_{E})$ es estrictamente normado y $(\mathbb{R}^{n}, \Vert \cdot \Vert_{\infty})$ no está estrictamente normalizada.

Aquí, yo no escribí prueba de esto, sólo estoy usando la equivalencia anterior. Por favor, corregidme si me equivoco.

¿Alguien conoce otro ejemplo de no estrictamente normalizado?

Answer 1

$$ \frac{x+y}{|x|+|y|}=\frac{|x|}{|x|+|y|}\Big(\frac{x}{|x|}\Big)+\frac{|y|}{|x|+|y|}\Big(\frac{y}{|y|}\Big) $$ Esto demuestra que $v:=(x+y)/(|x|+|y|)$ está en el segmento que conecta $x/|x|$ a $y/|y|$ . Dado que la esfera unidad no tiene segmentos, $|v|$ no puede ser $1$ . Por la desigualdad del triángulo, $|v|\le 1$ .

Answer 2

Supongamos que $V$ no contiene segmentos de línea, y $x, y \in V$ tal que $$\|x + y\| = \|x\| + \|y\|.$$ Sea $z$ sea el punto del segmento de recta $[0, x + y]$ que esperarías que fuera la distancia $\|x\|$ de $0$ y distancia $\|y\|$ de $x + y$ . Calculando esto, obtendrás $$z = \frac{\|x\|(x + y)}{\|x + y\|}.$$ Tenga en cuenta que $z$ se encuentra en las esferas $S[0; \|x\|]$ y $S[x + y; \|y\|]$ .

Tenga en cuenta que lo mismo ocurre con $x$ . Es decir, $x$ y $z$ se encuentran en ambas esferas. Supongamos que son puntos diferentes. Como ambos están en $S[0; \|x\|]$ se deduce de la convexidad de la bola que $\frac{x + z}{2}$ debe estar en la bola abierta $B(0; \|x\|)$ es decir $\left\|\frac{x + z}{2}\right\| < \|x\|$ . Del mismo modo, tenemos $\frac{x + z}{2} \in B(x + y, \|y\|)$ . Por lo tanto,

$$\|x + y\| \le \left\|\frac{x + z}{2}\right\| + \left\|x + y - \frac{x + z}{2}\right\| < \|x\| + \|y\| = \|x + y\|,$$

lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $x = z$ y de esto es fácil ver que $x$ y $y$ son paralelas.

En cuanto a tu otra pregunta, puedes formar una norma a partir de una bola unitaria. Las bolas unitarias admisibles son precisamente los subconjuntos no vacíos simétricos, cerrados, acotados y convexos de $\mathbb{R}^n$ . Esto da mucho margen para encontrar normas estrictas o no estrictas.