Demuestra que $f(z):=\frac{e^z}{1-z}$ es una función holomorfa en $\mathbb C\setminus$ { $1$ }

Question

Si tenemos $f:\mathbb C\setminus$ { $1$ } $\to\mathbb C$ dado por

$f(z):=\frac{e^z}{1-z}$ ,

¿cómo podemos demostrar que $f$ es una función holomorfa en $\mathbb C\setminus$ { $1$ }?

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Entiendo que para que una función sea holomorfa en un dominio, significa que es diferenciable compleja en este dominio, pero ¿cómo escribo esto matemáticamente?

Además, ¿cómo puedo incorporar el $\mathbb C\setminus$ { $1$ } en la respuesta, ya que lógicamente se ve claramente que $z$ no puede tomar el valor de $1$ o bien el denominador de $f$ sería cero, pero ¿cómo añadiría formalmente esto a mi prueba? Gracias.

Answer 1

Le sugiero que demuestre (o busque la prueba de) un hecho más general:

$``$ Si $g:U \to \mathbb{C}$ y $h:U \to \mathbb{C}$ son holomorfas, entonces $z\mapsto g(z)/h(z)$ es holomorfa en el conjunto $$U\setminus\{w \in U \, : \, h(w)=0\}."$$

En su caso, tenemos $g(z)=e^z$ y $h(z)=1-z.$

Es bien sabido que $g$ es holomorfa en todas partes en $\mathbb{C}.$

Es fácil ver que $h$ también es holomorfa en todas partes en $\mathbb{C}.$

El único punto $w \in \mathbb{C}$ con $h(w)=0$ es $w=1.$

Por lo tanto, por el resultado anterior, $z\mapsto e^z/(1-z)$ es holomorfa en todas partes en $\mathbb{C}\setminus\{1\}.$

Answer 2

En primer lugar, sólo tiene que tener en cuenta $z\in\mathbb{C}-\{1\}$ . Hay varias formas de argumentar aquí dependiendo del conocimiento que se presuma. ¿Qué sabes de funciones holomorfas?

La forma más elemental es comprobar si se cumplen o no las ecuaciones de Cauchy - Riemann y si las derivadas son continuas. (Que lo son)