Estoy tratando de probar que $\dfrac{(2n)!}{2^n}$ es entero. Por lo que he intentado hacerlo por inducción, he hice $n=1$, por que tenemos $2/2=1$ es entero. Así que para $n=k$ es verdad, ahora llega el momento de prueba $k+1$, $(2(n+1))!=(2n+2)!$, que es igual a $$1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times (2n) \times (2n+1) \times (2n+2),$$ second term would be $% $ $2^{n+1}=2 \times 2^n$finalmente si nos dividen $(1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times (2n) \times (2n+1) \times (2n+2)$ $2^{n+1}=2 \times 2^n$ y consideran que, $(2n)!/(2^n)$ es entero, obtenemos $(2n+1) \times (2n+2)/2=(2n+1) \times 2 \times (n+1)/2$, nosotros podemos cancelar $2$, obtenemos $(2n+1)(n+1)$ que es sin duda entero. ¿Me resulta curioso ver este tan simple? ¿Significa lo que he probado correctamente?
Respuestas
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Supongamos que hay $n$ distintos objetos en un conjunto de $D$.
Considerar un conjunto de $S$ $2$ copias que contienen de cada elemento de $D$. $S$ % Total $2n$objetos tiene.
Número total de permuatations de estos objetos $=\dfrac{(2n)!}{(2!)^n}=\dfrac{(2n)!}{2^n}$.
Puesto que el número de permutaciones es un entero, por lo tanto, $\dfrac{(2n)!}{2^n}$ es un entero.
Sí, lo han demostrado correctamente. De hecho, la prueba no es difícil. Si usted necesita para hacer una presentación formal, bien. Pero el resultado es obvio que si usted acaba de ampliar, dicen, $(2\cdot 5)!$. Está claro que recoger al menos cinco $2$'s.
Si usted necesita para escribir un formal de inducción, podría escribirse un poco más claramente. Por ejemplo, la frase "así que, por $n=k$ es verdad" no está claro. Supongo que te refieres a que "así que, si por $n=k$ es cierto." Ahora escribiremos a cabo una prueba.
El resultado es obviamente cierto para $n=1$. Se demuestra que si es cierto para $n=k$, es cierto para $n=k+1$.
Tenga en cuenta que $$(2\cdot (k+1))!=(2k)!(2k+1)(2k+2).$$ Por la hipótesis de inducción, $2^k$ divide $(2k)!$. De ello se desprende que $2^{k+1}$ divide $(2k)!(2)$, y por lo tanto $2^{k+1}$ divide $(2k)!(2k+1)(2k+2)$.
