Cómo puedo demostrar $|\beta N| \geq | \beta Q|$ . Necesito algunos consejos. He encontrado alguna ayuda pero sigo teniendo problemas (considere cualquier mapa 1-1)
Respuesta
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Sea $f: \mathbb{N} \to \mathbb{Q}$ sea cualquier suryección (o biyección si se quiere; los racionales son contables). Cualquier función en el espacio discreto $\mathbb{N}$ es continua. Entonces podemos extender el codominio y ver $f$ como mapa $\mathbb{N} \to \beta\mathbb{Q}$ con codominio Hausdorff compacto. Podemos extender $f$ de forma única a una $\beta f: \beta \mathbb{N} \to \beta\mathbb{Q}$ . Ahora $\beta(f)$ es suryectiva ya que su imagen es un conjunto cerrado (compacto por tanto) que contiene al conjunto denso $\mathbb{Q}$ es igual a todo el codominio. Y (teoría básica de conjuntos) si $f: X \to Y$ es suryectiva, entonces $|Y| \le |X|$ o equivalentemente $|X| \ge |Y|$ .
Obsérvese que esto funciona para cualquier espacio separable (Tychonoff) $X$ : $|\beta X| \le |\beta \mathbb{N}|$ utilizando una biyección de los números naturales con un subconjunto denso contable de $X$ de la misma manera. Así que $|\beta \mathbb{R}| \le |\beta \mathbb{N}|$ por ejemplo
