¿Por qué obtengo dos respuestas diferentes para este problema de recuento?

Question

Supongamos que consideramos el alfabeto inglés y tenemos 26 letras de las cuales 5 son vocales. Quiero encontrar las tres secuencias de letras que contienen al menos una vocal.

Mi primer enfoque es $26^3-21^3=8315$ que es el número de todas las secuencias de tres letras menos el número de secuencias de tres letras que no contienen vocales.

Segundo enfoque: al menos una vocal significa una vocal o dos vocales o tres vocales por lo que la respuesta es $(5\cdot21^2)+(5^2\cdot21)+5^3=2855$ .

¿Por qué son diferentes estas dos respuestas?

Answer 1

En su segundo caso $(5\cdot21^2)+(5^2\cdot21)+5^3=2855$ el primer término representa la selección de 1 vocal y dos constantes cualesquiera. Pero esto representa ABB, BAB y BBA como una entidad, así que multiplíquelo por 3 ya que la vocal podría estar en cualquier posición. Del mismo modo, el segundo término representa una constante y cualquier combinación de vocales, pero la constante puede estar en cualquiera de las tres posiciones, así que multiplíquelo por 3 también.

$3(5\cdot21^2)+3(5^2\cdot21)+5^3=2855 = 8315$

Para el primer término, puede representar vocal, constante, constante como $5\cdot21\cdot21$ constante, vocal, constante como $21\cdot5\cdot21$ y constante, constante, vocal como $21\cdot21\cdot5$ sumando todo esto se obtiene $3(5\cdot21^2)$