¿Por qué obtengo dos respuestas diferentes para este problema de recuento?

Question

Supongamos que consideramos el alfabeto inglés y tenemos 26 letras de las cuales 5 son vocales. Quiero encontrar las tres secuencias de letras que contienen al menos una vocal.

Mi primer enfoque es $26^3-21^3=8315$ que es el número de todas las secuencias de tres letras menos el número de secuencias de tres letras que no contienen vocales.

Segundo enfoque: al menos una vocal significa una vocal o dos vocales o tres vocales por lo que la respuesta es $(5\cdot21^2)+(5^2\cdot21)+5^3=2855$ .

¿Por qué son diferentes estas dos respuestas?

Answer 1

Cabe señalar que para contar correctamente con el segundo enfoque, habría que escribir $$3 \cdot 5 \cdot 21^2 + 3 \cdot 5^2 \cdot 21 + 5^3 = 8315.$$ El primer término cuenta todos los casos en los que hay exactamente una vocal, y hay tres posiciones para la ubicación de esta vocal. El segundo término cuenta todos los casos en los que hay exactamente dos vocales, y hay tres posiciones para la ubicación de la única consonante. El tercer término cuenta todos los casos en los que hay exactamente tres vocales, pero no multiplicamos por tres porque las tres letras son del mismo tipo. Sólo hay que tener en cuenta el orden de los tipos de letras (vocal frente a consonante) cuando se utiliza más de un tipo de letra.

Answer 2

Cuando te preguntes por qué (o si) algo está mal, un enfoque general es hacer los números lo más pequeños que puedas manteniendo el error, pero de forma que puedas forzar la respuesta. Así que probemos con un alfabeto con una vocal A y una consonante B. (Tenga en cuenta que de esta forma nunca podrá demostrar que algo es correcto, pero es una herramienta valiosa para encontrar algunos errores).

Se obtiene 1 palabra sin vocales (BBB), 3 palabras con una vocal (ABB, BAB, BBA), 3 palabras con dos vocales (AAB, ABA, BAA) y 1 palabra con tres vocales (AAA). Su primera aproximación encuentra el número correcto, $2^3-1^3=7$ .

Sin embargo, el segundo enfoque afirma, por ejemplo, que sólo hay $1 \cdot 1^2 = 1$ palabra con exactamente una vocal. A partir de aquí, puedes intentar ver por qué da trabajo a la respuesta incorrecta (que ya ha sido contestada por las otras respuestas).

Answer 3

Toma el número de todas las palabras de tres letras, $26^3$ y restarle el número de los que sólo tienen consonantes, $21^3$ .

Su segundo método no aborda todas las posibles secuencias de vocales, como vocal-consonante-vocal o vocal-vocal-consonante o consonante-vocal-vocal...

Answer 4

Consulte Expansión binomial

$$(21+5)^3=21^3+\tbinom 31\cdotp 21^2\cdotp5+\tbinom 32\cdotp21\cdotp 5^2+5^3$$

así que $$26^3-21^3= (3\cdot21^2\cdotp 5)+(3\cdot21\cdotp 5^2)+5^3$$

Los coeficientes binomiales cuentan las formas de seleccionar elementos de un conjunto.

En tu caso, se trata de posiciones para colocar las vocales en la palabra.

Existen $3\cdot21^2\cdotp 5$ formas de seleccionar 1 vocal y dos consonantes donde la vocal está en primer, segundo o tercer lugar. Y así sucesivamente.

Answer 5

Desde la perspectiva de la función generadora, si $V$ es el número de vocales, $C$ es el número de consonantes, y $L$ es el número total de letras, entonces tenemos que el número de formas de tener una vocal seguida de dos consonantes es $VCC$ o $5*21*21$ . También disponemos de $CVC$ y $CCV$ . Como la multiplicación es comunicativa, tenemos que $VCC+CVC+CCV=3VCC$ por lo que sumándolos da $3VCC$ o $3*5*21*21$ . Del mismo modo, para dos vocales tenemos $3VVC=3*5*5*21$ . Para $VVV$ no hay otra manera de organizar el orden, por lo que es sólo $1*5*5*5$ .

Así que su error estaba en calcular sólo $VCC$ . Es decir, has calculado el número de formas de conseguir un determinado pedido y no has tenido en cuenta los distintos pedidos posibles.

También podemos ver lo que ocurre cuando tomamos el número total de secuencias, $L^3$ . Esto es igual a $(C+V)^3$ . Eso da ocho mandatos, $CCC, CCV, CVC, CVV, VCC, VCV, VVC, \text{and } VVV$ . Recopilando los términos que son equivalentes hasta la conmutación obtenemos los resultados de la fórmula binomial: $C^3+3C^2V+3CV^2+V^3$ . Restando $C^3$ da $3C^2V+3CV^2+V^3$ .