Qué valores pueden ser para $\dim(U+W)$ y $\dim(U \cap W)$ ?

Question

Me dan $\dim (V)=6$ , $\dim (U)=3$ , $\dim (W)=3$ .

Qué valores pueden ser para $\dim(U+W)=m$ y $\dim(U \cap W)=k$ ?

Intenté empezar desde:
$$\dim(U+W)= \dim (U) + \dim (W) - \dim(U \cap W)$$ $$m=3+3-k$$ $$m+k=6$$

¿Cuál es el siguiente paso?

Answer 1

$\dim(U+W)$ puede ser cualquier número entero comprendido entre $3$ a $6$ ; una vez que lo tenga, la dimensión de $U\cap W$ puede calcularse mediante la fórmula de Grassmann.

Considere una base $\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6\}$ y $U=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}$ . Sea $W_k=\operatorname{span}\{v_{1+k},v_{2+k},v_{3+k}\}$ para $0\le k\le 3$ .