¿Cómo demostrar que la siguiente función es suryectiva?

Question

Pregunta:

Considere la función $f:\mathbb R^3\rightarrow \mathbb R^2$ definido por $$f(x)= \begin{pmatrix} 1&1&2\\ -1&1&0\\ \end{pmatrix}x$$ Demuestra que la función es suryectiva.

¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Pista: Escriba a $x = (x^1, x^2, x^3) \in \mathbb R^3$ y que cualquier $y=(y^1,y^2) \in \mathbb R^2$ se dará. ¿Qué se puede decir de las soluciones del siguiente sistema?

$$\begin{cases}x^1 + x^2 + 2x^3 &= y^1\\-x^1 + x^2 &= y^2 \end{cases}$$

Observe que $1 \cdot 1 + 1\cdot 1 \neq 0$ ( $a_1b_2- a_2b_1$ ), ¿qué se puede decir de la configuración de esos planos? ¿Cuál es su intersección?

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ f\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} \qquad f\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} $$ Obsérvese entonces que los vectores $\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ and $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ son linealmente independientes.

¿Cómo sé que lo son y qué columnas de la matriz debo considerar? Haz la eliminación de Gauss: $$ \begin{pmatrix} 1&1&2\\ -1&1&0\\ \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&1&2\\ 0&2&2\\ \end{pmatrix} \qquad R_2\gets R_2+R_1 $$ Los pivotes están en las columnas 1 y 2, por lo que la matriz tiene rango $2$ y un conjunto de generadores de la imagen es la primera y segunda columna; pero el rango $2$ ya te dice que el mapa es suryectivo.