Transformación lineal idempotente de $V$ à $V$ es la suma directa de $\operatorname{range}(T)$ y $\operatorname{null}(T)$

Question

El enunciado del problema es:

Si $T\in\mathcal{L}(V)$ y $T^2=T$ (idempotente), demuestre que $V=\operatorname{range}(T)\oplus \operatorname{null}(T)$ .

No sé exactamente por dónde empezar con este problema.

Answer 1

Pista: Observe que $v=Tv+(v-Tv)$ ...

Answer 2

Tenemos que demostrar que

$V = \text{Range}(T) + \text{Null}(T) \tag 1$

con

$\text{Range}(T) \cap \text{Null}(T) = \{0\}; \tag 2$

Ahora con nuestro colega Parcly Taxis escribimos, para $v \in V$ ,

$v = Tv + (I - T)v; \tag 3$

podemos entonces utilizar la hipótesis

$T^2 = T \iff T - T^2 = 0 \iff T(I - T) = (I - T)T = 0, \tag 4$

ver que para

$w = (I - T)v \tag 5$

tenemos

$Tw = T(I - T)v = 0, \tag 6$

es decir,

$w \in \text{Null}(T); \tag 7$

por lo que vemos que (1) es vinculante; también hemos establecido que

$\text{Range}(I - T) \subset \text{Null}(T); \tag 8$

observamos que

$(I - T)^2 = I - 2T + T^2 = I - 2T + T = I - T; \tag 9$

por lo tanto con $w$ como en (7) encontramos

$w = w - Tw = (I - T)w = (I - T)^2w = (I - T)(I - T)w, \tag{10}$

y así tenemos

$w \in \text{Range}(I - T), \tag{11}$

para que

$\text{Range}(I - T) = \text{Null}(T); \tag{12}$

por lo que para validar (2) necesitamos demostrar

$\text{Range}(T) \cap \text{Range}(I - T) = \{0\}; \tag {12}$

si

$w \in \text{Range}(T) \cap \text{Range}(I - T), \tag{13}$

entonces hay $x, y \in V$ tal que

$Tx = w =(I - T)y, \tag{14}$

de donde

$w = Tx = T^2x = T(I - T)y = 0; \tag{15}$

por lo tanto (2) se afirma y con ella

$V = \text{Range}(T) \oplus \text{Null}(T). \tag {15}$

Observación: Cabe señalar que no existe ninguna restricción en materia de $\dim V$ en el enunciado de este resultado; $\dim V = \infty$ entra en el ámbito de esta proposición. Fin de la observación.

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