Confusión básica sobre los productos tensores

Question

Sea $A$ y $B$ sean subespacios de espacios vectoriales $V$ y $W$ respectivamente.

Dado $a\in A$ y $b\in B$ hay dos interpretaciones posibles de $a\otimes b$ podemos pensar que es un miembro de $A\otimes B$ o como miembro de $V\otimes W$ .

Así que intenté liberarme de esta aparente ambigüedad definiendo $f:A\times B\to V\otimes W$ como $f(x, y)=x\otimes y$ para todos $(x, y)\in A\times B$ donde, por supuesto, $x\otimes y$ se considera miembro de $V\otimes W$ y no $A\otimes B$ .

Desde $f$ es un mapa bilineal, induce un único mapa lineal $\bar f:A\otimes B\to V\otimes W$ que envían $x\otimes y\in A\otimes B$ à $x\otimes y\in V\otimes W$ para todos $x\in A$ y $y\in B$ .

Si $\bar f$ fueran inyectivas, entonces la ambigüedad podría disolverse. Pero soy incapaz de demostrarlo.

¿Qué me estoy perdiendo?

Answer 1

Elegir bases $(E_i)$ y $(F_j)$ para $A$ y $B$ y ampliarlas a bases para $V$ y $W$ respectivamente. Obtenemos una base $(E_i\otimes F_j)$ para $A\otimes B$ y de la misma manera las extensiones dan una base para $V\otimes W$ . Entonces, obtenemos que $\bar{f}$ mapea una base de $A\otimes B$ a un subconjunto linealmente independiente de $V\otimes W$ (subconjunto de una base). Esto demuestra que $\bar{f}$ es inyectiva.