Si $n\ge2$ demuestre que $\frac {n!}{n^n} \le ({\frac 1 2})^k$ donde $k$ es el mayor número entero $\le \frac n 2$ .

Question

Utilizando sólo conocimientos de precálculo si $n\ge2$ demuestre que $\frac {n!}{n^n} \le ({\frac 1 2})^k$ donde $k$ es el mayor número entero $\le \frac n 2$ . (tomado de Cálculo I de Apostol, página 46)

No tengo mucha idea, traté de sustituir $k$ con el valor máximo que puede asumir ( $\frac n 2$ ) $$\frac {n!}{n^n} \le \left({\frac 1 2}\right)^{\frac n 2}$$ y elevar al cuadrado la expresión $${{(n!)}^2 \over {n}^{2n}} \le \frac 1 {2^n}$$ y obtener $$2^n(n!)^2\le n^{2n}$$ Quiero decir, puedo ver intuitivamente que $$2n^2\cdot2(n-1)^2\cdots2\cdot2^2\cdot2\cdot1^2$$ (n veces) es inferior a $$n^2\cdot n^2 \cdots n^2$$ (n veces), pero me gustaría tener una explicación más lógica, dado que aún no he profundizado en el cálculo. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

$\displaystyle\frac{n!}{n^n}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots2\cdot1}{n\cdot n\cdots n\cdot n}=\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\cdots\frac{k+1}{n}\frac{k}{n}\frac{k-1}{n}\cdots\frac{2}{n}\frac{1}{n}$

$\hspace{.4 in}\displaystyle\le \frac{k}{n}\frac{k-1}{n}\cdots\frac{2}{n}\frac{1}{n}\le\left(\frac{1}{2}\right)^k$

desde $\displaystyle l\le k\implies l\le \frac{n}{2}\implies \frac{l}{n}\le\frac{1}{2}$ .

Answer 2

Utilicemos la inducción matemática.

• Para $n=2$ vemos que $\frac{2!}{2^{2}}=\frac{1}{2}=\big(\frac{1}{2}\big)^{1}$ . Para $n=3$ vemos que $\frac{3!}{3^{3}}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}\leq\frac{1}{2}=\big(\frac{1}{2}\big)^{1}$ .
• Supongamos ahora que para $n=2k$ tenemos $\frac{(2k)!}{(2k)^{2k}}\leq\big(\frac{1}{2}\big)^{k}$ y para $n=2k+1$ tenemos $\frac{(2k+1)!}{(2k+1)^{2k+1}}\leq\big(\frac{1}{2}\big)^{k}$ .
• Entonces, tenemos $\frac{(2k+2)!}{(2k+2)^{2k+2}}=\underbrace{\frac{2k+1}{2k+2}}_{\leq\frac{1}{2}}\Big(\underbrace{\frac{2k}{2k+2}}_{<1}\Big)^{2k}\underbrace{\frac{(2k)!}{(2k)^{2k}}}_{\big(\frac{1}{2}\big)^{k}}\leq\big(\frac{1}{2}\big)^{k+1}$ es decir, la afirmación es válida para $n=2k+2$ . Además, tenemos $\frac{(2k+3)!}{(2k+3)^{2k+3}}=\Big(\underbrace{\frac{2k+2}{2k+3}}_{<1}\Big)^{2k+2}\frac{(2k+2)!}{(2k+2)^{2k+2}}\leq\frac{(2k+2)!}{(2k+2)^{2k+2}}\leq\big(\frac{1}{2}\big)^{k+1}$ es decir, la afirmación también es válida para $n=2k+3$ . Esto completa el último paso de la inducción. Por lo tanto, la afirmación es cierta para todos los números enteros pas menos de $2$ .