Mapa inyectivo continuo $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ ?

Question

¿Cómo demostrarías que no existe un mapa continuo inyectivo $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ ?

He intentado el enfoque en el que si $a \in \mathbb{R}$ entonces $\mathbb{R} \backslash \{a\} $ no es claramente conexa, por lo que no puede existir una función continua de otro modo $\mathbb{R} \backslash \{a\} $ estarían conectados?

Answer 1

Supongamos que existe un mapa continuo inyectivo $f: \mathbb R^3 \to \mathbb R$ es continua inyectiva , entonces

$f:\mathbb R^3 \to f(\mathbb R^3)$ es continua biyectiva , entonces $f(\mathbb R^3)$ es un conjunto conexo infinito por lo que un no-singleton

intervalo en $\mathbb R$ diga $I:= f(\mathbb R^3)$ pero entonces para tres $a,b,c \in \mathbb R^3$ , $f(a),f(b),f(c)$ son tres

elementos distintos de $I$ y $f:\mathbb R^3\setminus \{a,b,c\} \to I\setminus \{f(a),f(b),f(c)\}$ es una biyección continua , por lo que

que $I\setminus \{f(a),f(b),f(c)\}$ debe estar conectado, es decir, un intervalo de $\mathbb R$ pero se sabe que para cualquier

intervalo no superpuesto $I$ en $\mathbb R$ y tres puntos distintos cualesquiera $x,y,z \in I$ el conjunto $I \setminus \{x,y,z\}$ no puede

sea un intervalo, ¡contradicción!

[NOTA $I \subseteq \mathbb R$ sea un intervalo no simple , $x,y,z \in I$ sean tres puntos distintos , c.l.o.g.

$x<y<z$ , entonces como I es un intervalo , $\dfrac {x+y}2 , \dfrac {y+z}2 \in I$ y también $x<\dfrac{x+y}2<y<\dfrac {y+z}2<z$ Así que

que $\dfrac {x+y}2 , \dfrac {y+z}2 \in I\setminus \{x,y,z\}$ entonces si $I\setminus \{x,y,z\}$ fuera un intervalo , el hecho

$\dfrac {x+y}2 <y< \dfrac {y+z}2$ implicaría $y \in I\setminus \{x,y,z\}$ ¡Contradicción! Por lo tanto $I\setminus \{x,y,z\}$ no puede ser un

intervalo ]