Mapa inyectivo continuo $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ ?

Question

¿Cómo demostrarías que no existe un mapa continuo inyectivo $f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ ?

He intentado el enfoque en el que si $a \in \mathbb{R}$ entonces $\mathbb{R} \backslash \{a\} $ no es claramente conexa, por lo que no puede existir una función continua de otro modo $\mathbb{R} \backslash \{a\} $ estarían conectados?

Answer 1

Presentaré una respuesta que puede ser (en principio, al menos) comprendida por cualquiera que conozca el cálculo monovariable y la definición de una función continua $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ . A continuación explicaré cómo acortar un poco el argumento utilizando lenguaje topológico.

Paso 1: Sea $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función continua con $f(0) = f(1)$ . Entonces existe $x,y \in [0,1)$ tal que $f(x) = f(y)$ y $x\neq y$ .

Demostración: Podemos suponer $f$ no es constante. Por el Teorema del Valor Extremo asume un valor mínimo $m$ y un valor máximo $M$ con $m < M$ . Sea $x_m,x_M$ sea tal que $f(x_m) = m$ y $f(x_M) = M$ . Sin pérdida de generalidad $x_m < x_M$ . Por el Teorema del Valor Intermedio, todo valor en $(m,M)$ en el intervalo $(x_m,x_M)$ . Además, dado que $f(1) = f(0)$ la función

$g: [x_M,1+x_m]: \rightarrow \mathbb{R}$ dada por

$x \mapsto f(x)$ , $x_M \leq x \leq 1$ ,
$x \mapsto f(x-1)$ , $1 \leq x \leq 1+x_m$

es continua, con $g(x_M) = M$ , $g(1+x_m) = m$ por lo que por el Teorema del Valor Intermedio se toma todo valor en $(m,M)$ en el intervalo $(x_M,1+x_m)$ de modo que $f$ toma todos los valores de $(m,M)$ en $(x_M,1) \cup (0,x_m) = [0,1] \setminus [x_m,x_M]$ . Así $f$ toma todos los valores de $(m,M)$ al menos dos veces y no es inyectiva en $[0,1)$ .

Paso 2: Que $n$ sea un número entero mayor que uno, y que $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función continua. Entonces $g: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $g(t) = f(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t),0,\ldots,0)$ es continua con $g(0) = g(1)$ por lo que en el paso 1 hay $0 \leq t_0 < t_1 < 1$ tal que $g(t_1) = g(t_2)$ . Es decir, $f(\cos(2\pi t_1),\sin(2\pi t_1),0,\ldots,0) = f(\cos(2\pi t_2),\sin(2\pi t_2),0,\ldots,0)$ Así que $f$ no es inyectiva.

Paso 3: Una versión más suave y topológica es la siguiente: dejemos que $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ sea continua. Buscando una contradicción, suponemos que es inyectiva. Sea $S^{n-1} \subset \mathbb{R^n}$ sea la esfera unitaria. Como es compacta, la restricción de $f$ a $S^{n-1}$ da un homeomorfismo sobre su imagen, que es un subconjunto compacto y conexo de $\mathbb{R}$ por lo tanto un intervalo acotado cerrado $[a,b]$ . Si $a = b$ entonces $f$ es constante, por lo que no es inyectiva. Si no, observemos que si eliminamos uno cualquiera de los incontablemente infinitos puntos de $S^{n-1}$ obtenemos un espacio homeomorfo a $\mathbb{R}^{n-1}$ que está conectado si $n \geq 2$ . Sin embargo, sólo hay dos puntos en $[a,b]$ cuya eliminación conduce a un espacio conexo: los dos puntos extremos. ¡Contradicción!

Answer 2

Tomar dos rectas que pasen por el origen $\ell_1=tb_1,\ell_2=tb_2$ donde $b_1,b_2 \in \Bbb{R}^3$ . Entonces $g_i(t)=f(tb_i)$ son inyectivas y continuas, y por tanto estrictamente monótonas. Esto demuestra que $f(\ell_1)\cap f(\ell_2)$ no puede ser igual a un único punto, contradiciendo por tanto la inyectividad.

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Otro enfoque. Tome $a,b \in \Bbb{R}^3$ tal que $f(a)<f(b)$ . Entonces la imagen de cada camino conexo acotado entre $a$ y $b$ debe ser el intervalo $[f(a),f(b)]$ . Esto contradice la inyectividad.

Answer 3

Supongamos que $f$ existe. Entonces, puesto que $f$ es continua, $f(\Bbb R^3)$ es un subconjunto conexo de $\Bbb R$ y, por tanto, un intervalo $U$ .

Además, puesto que $f$ es uno a uno, se cumplen las dos propiedades siguientes:

$\ \ $ 1) $U$ no es un punto único,

y,

$\ \ $ 2) para cada $a\in\Bbb R^3$ tenemos $f\bigl(\, \Bbb R^3\setminus\{a\}\,\bigr) = f(\Bbb R^3) \setminus \{\,f(a)\,\} =U\setminus\{\,f(a)\,\}$ .

Ahora, por 1), podemos elegir (y elegimos) $b\in\Bbb R^3$ tal que $f(b)\in\text{Int}(U)$ donde $\text{Int}(U)$ es el interior de $U$ .

Entonces, por 2), $$ f\bigl(\, \Bbb R^3\setminus\{\,b\,\}\,\bigr) = U \setminus \{\,f(b)\,\}; $$ lo cual es una contradicción, ya que $\Bbb R^3\setminus\{\,b\,\}$ está conectado mientras que $U \setminus \{\,f(b)\,\}$ no lo es.

Answer 4

Otra versión que requiere mucho menos de la topología, pero sólo el teorema del valor intermedio es la siguiente.

Sea $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ sea continua, con $n \geq 2$ . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer $f(0,\ldots,0) = 0$ .

Considere la curva $\gamma_1 \colon [-1,1] \to \mathbb{R}^n; x \mapsto (x,0,\ldots,0)$ y considere $g := f \circ \gamma_1$ . Si ambos $a_1 := g(-1)$ y $a_2:= g(1)$ tienen el mismo signo, proceda como sigue. Sin pérdida de generalidad, supongamos $a_1 \leq a_2$ . Aplique el teorema del valor intermedio para hallar a $c \in [0,1]$ con $g(c) = a_1$ . Entonces $g(-1) = g(c)$ con $c \ne -1$ . Por lo tanto $f(\gamma(-1) = f(\gamma(c))$ (y $\gamma(-1) \ne \gamma(c)$ ).

Considere, por otra parte, que $a_1$ y $a_2$ tienen signos diferentes, considere la curva $\gamma_2 \colon [-1,1] \to \mathbb{R}^n; x \mapsto (0,x,\ldots,0)$ y $h(x) = f(\gamma_2(x))$ . Obviamente, al menos dos de $h(-1), h(1), g(-1)$ y $g(1)$ tendrán el mismo signo. Aplica el razonamiento anterior para encontrar dos puntos $c$ y $d$ con $f(c) = f(d)$ .

Obviamente, esto se extiende para demostrar que no hay $f \colon U \to \mathbb{R}$ con $U$ abrir en $\mathbb{R}^n$ puede ser inyectiva (para $n \geq 2$ ).

Answer 5

Podemos demostrar que no hay inyección continua desde $\mathbb{R}^{2}$ a $\mathbb{R}.$ A continuación, confinamos el mapa de $\mathbb{R}^{3}$ a $\mathbb{R}$ en el $xy$ El mapa sigue siendo continuo e inyectivo por lo que tenemos contradicción.

Sólo tenemos que encontrar 2 puntos diferentes y $f$ tiene el mismo valor en los dos puntos.

Así que considera 4 vértices $\{O(0,0),A(1,0),B(0,1),C(1,1)\}$ del cubo unitario. $f$ toma un valor diferente en el $4$ puntos o simplemente encontramos lo que queremos.Supongamos $f(O)$ es el más pequeño y $f(O)<f(A)<f(B)$ Usando el teorema del valor medio y podemos encontrar un punto $D$ en el segmento $OB$ y $f(D)= f(A).$

Este método sólo necesita continuidad para cada variable y puede generalizarse al caso de $\mathbb{R}^{n}.$