Prueba del criterio de división de Horrocks: el libro de Okonek, etc.

Question

En la demostración del criterio de división de Horrocks, Teorema 2.3.1, Okonek, Schneider, Spindler, se da esta situación:

$E$ y $F$ son haces vectoriales sobre el espacio proyectivo $P^n$ del mismo rango y del mismo $c_1$ . Tenemos un morfismo $\phi:F\rightarrow E$ que es un isomorfismo en un hiperplano, es decir $\phi|_H:F|_H\rightarrow E|_H$ . Esto da $$det\,\phi:det\,F\rightarrow det\,E.$$

Puesto que tienen el mismo $c_1$ , $det\,\phi\in H^0(P^n,det\,F^*\otimes det\,E)\simeq H^0(P^n,O)$ .

Desde $det\,\phi$ es distinto de cero en $H$ y es constante en $P^n$ , $det\, \phi$ no desaparece en ninguna parte.

Dicen que : así $\phi$ es un isomorfismo. ¿Cómo demuestra esto que $\phi$ es un isomorfismo?

Answer 1

Se puede tomar la fórmula estándar para la matriz inversa y aplicarla al morfismo de haces vectoriales. Explícitamente, funciona como sigue.

Supongamos que el rango de los haces es $r$ . En primer lugar, considere la $(r-1)$ -potencia exterior del mapa: $$ \Lambda^{r-1}\phi : \Lambda^{r-1}F \to \Lambda^{r-1}E. $$ Luego transpóngalo: $$ \Lambda^{r-1}\phi^T : \Lambda^{r-1}E^\vee \to \Lambda^{r-1}F^\vee. $$ Por último, utilizando las identificaciones naturales $$ E \cong \det E \otimes \Lambda^{r-1} E^\vee, \qquad F \cong \det F \otimes \Lambda^{r-1} F^\vee, $$ y el isomorfismo de determinantes, se deduce de aquí el mapa $$ (\det \phi)^{-1} \otimes \Lambda^{r-1}\phi^T : E \to F. $$ Es la inversa de $\phi$ (que puede comprobarse mediante un cálculo local).