Permutaciones de las bases de Hamel de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{Q}$

Question

Considere $\mathbb{R}$ con las operaciones habituales de suma y multiplicación como un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ . ¿Existe una base Hamel $\{ v_i \}_{i \in I}$ de $\mathbb{R}$ y una permutación $\phi:I \rightarrow I$ diferente del mapa de identidad, tal que $v_{\phi(i)}=cv_i$ para alguna constante $c \in \mathbb{R}$ y todos $ i \in I$ ?

Muchas gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Supongamos que tienes esa base $\{v_i\}$ permutación $\phi$ y $c\in\mathbb{R}$ . Es evidente que toda órbita de $\phi$ debe ser infinito, por lo que $c$ es trascendental (ya que en caso contrario $c$ tendría que ser $-1$ pero entonces $v_i$ no es linealmente independiente de $v_{\phi(i)}$ ). Elegir un conjunto de representantes $B\subset\{v_i\}$ para las órbitas de $\phi$ . Entonces el conjunto $B$ es una base para $\mathbb{R}$ como módulo sobre el anillo $\mathbb{Q}[c,c^{-1}]$ .

Sin embargo, afirmo que $\mathbb{R}$ no puede ser libre sobre $\mathbb{Q}[c,c^{-1}]$ . Por ejemplo, cada elemento de $\mathbb{R}$ es infinitamente divisible por $c+1$ . Pero como $c$ es trascendental, ningún elemento no nulo del anillo $\mathbb{Q}[c,c^{-1}]$ es infinitamente divisible por $c+1$ por lo que ningún elemento no nulo de un módulo libre puede ser infinitamente divisible por $c+1$ . Por lo tanto, no existe tal base.

En términos más generales, este argumento se aplica con $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ sustituido por cualquier extensión de campo $K\subset L$ (si $L$ contiene raíces de la unidad que no están en $K$ es necesario utilizar el hecho de que las potencias de una raíz de la unidad no pueden ser linealmente independientes sobre $K$ ya que su suma es $0$ ).