Ayuda para verificar $\lim \frac{2n^2}{n^3 +3} = 0$

Question

Tengo dificultades para verificar lo siguiente utilizando la definición de convergencia de una sucesión (es decir, una sucesión converge a $x$ si $n \ge N$ $\Longrightarrow$ $|x-x_n|< \epsilon$ )

$$\lim \frac{2n^2}{n^3 +3} = 0$$

Ahora bien, si tomo $$\left|\frac{2n^2}{n^3 +3} - 0\right|< \epsilon$$

Me quedo atascado en $$\frac{n^2}{n^3 +3}< \frac{\epsilon}{2}$$ Si no me equivoco tenemos que mostrar $n>A \epsilon$ para alguna expresión $A$ y simplemente escribiendo $$n<\frac{\sqrt \epsilon \sqrt {n^3 +3}} {2}$$ sería incorrecto derecho porque tenemos que show\write $\epsilon$ independientemente de $n$ ?

Tengo la misma dificultad para simplificar la relación entre $\epsilon$ y $n$ en la siguiente expresión

$$\left|\frac{\sin (n^2)}{\sqrt[3] n}- 0\right| < \epsilon$$

¿Alguien puede darme una pista para esto?

Answer 1

Tenga en cuenta que $ \frac{2n^2}{n^3 +3} \lt \frac{2n^2}{n^3} =\frac{2}{n} $ .

Por lo tanto, si $\frac{2}{n} \lt \epsilon $ entonces $ \frac{2n^2}{n^3 +3} \lt \epsilon $ .

No tiene que conseguir lo mejor $n$ - una muy buena es suficiente para demostrar la convergencia.

Answer 2

Sugerencias $$ 0\le\left\lvert\frac{\sin (n^2)}{n^{1/3}}\right\rvert\leq \frac{1}{n^{1/3}} $$ y $$ 0\le\frac{2n^2}{n^3+3}\leq 2\frac{n^2}{n^3}=\frac{2}{n}. $$

Answer 3

Pista:

Para $n > \frac2{\varepsilon}$ tenemos

$$\frac{n^2}{n^3+3} < \frac{n^2}{n^3} = \frac1n < \frac\varepsilon2$$