Parametrizar la superficie $(x-z)^2+(y-z)^2+(y-x)^2=1$

Question

Así que sé que esta ecuación es la ecuación de un cilindro. Y sé que la ecuación $x^2+y^2=1$ puede parametrizarse en $x=\cos(t)$ , $y=\sin(t)$ con $z=t$ haciendo una hélice.

Quisiera saber cómo se parametrizaría esta ecuación $$(x-z)^2+(y-z)^2+(y-x)^2=1 .$$ Me cansé de expandir esta ecuación y resolver para x,y y z pero me dio unas raíces cuadradas.

Answer 1

Sea $X:=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \ \text{and} \ U:=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \ \text{with} \ \|U\|=\sqrt{3}. \tag{*}$

Podemos escribir :

$$(z-y)^2+(x-z)^2+(y-x)^2=\|X \times U\|^2=1 \ \iff \ \|X \times U\|=1.\tag{1}$$

Denotemos por $U^{\perp}$ el plano ortogonal a $U$ .

Descompongamos

$$X=aU+X'\tag{2}$$

donde $X' \in U^{\perp}$ es la proyección ortogonal de $X$ en $U^{\perp}.$

Introduciendo (2) en (1), obtenemos :

$$\|(aU+X') \times U\|=\|X' \times U\|=1.\tag{3}$$

Dicho de otro modo, $\|X'\| .\|U\| \sin(\frac{\pi}{2})=1.\tag{4}$

Por tanto, utilizando (*), (4) se convierte en :

$$\|X'\|=1/\sqrt{3}.$$

Por tanto, la solución es el conjunto de vectores $X$ cuya proyección ortogonal $X'$ en $U^{\perp}$ tiene norma $1/\sqrt{3}$ es decir, pertenece al círculo centrado en $0$ con radio $1/\sqrt{3}$ en avión $U^{\perp}$ .

Así, el lugar de $X$ es el cilindro con eje definido por $U$ y radio $1/\sqrt{3}$ .

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Pasemos ahora a la parametrización de esta superficie con 2 parámetros independientes $a$ y $\theta$ se obtiene escribiendo (2) bajo la forma :

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=X=aU+\frac{1}{\sqrt{3}}(\cos(\theta)V+\sin(\theta)W)\tag{4}$$

donde $$V:=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix} \ \text{and} \ W:=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$$ es una base ortonormal del plano $U^{\perp}$ .

Por último, (4) da la parametrización final del cilindro al introducir en él las expresiones anteriores de $V$ y $W$ :

Answer 2

Sugerencia Obsérvese que la ecuación definitoria $$(y - z)^2 + (z - x)^2 + (x - y)^2 = 1$$ es invariante bajo todas las permutaciones de $(x, y, z)$ . Cualquier vector invariante bajo estas permutaciones --en particular cualquier vector paralelo al eje del cilindro-- es un múltiplo del vector unitario ${\bf e_3} = \frac{1}{\sqrt 3} (1, 1, 1)$ lo que sugiere escribir la ecuación definitoria en alguna extensión de ${\bf e}_3$ a una base ortonormal $({\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf e}_3)$ . Por construcción, en las coordenadas $(u, v, w)$ definida por esta base, la ecuación es $$u^2 + v^2 = c$$ para algunos $c$ .