Intento responder a la siguiente pregunta de Basic Set Theory de Shen y Vereshchagin : 1. (a) Demostrar que cualquier familia de signos 8 disjuntos en el plano es contable (por signo 8 entendemos la unión de dos círculos tangentes de cualquier tamaño; la parte interior de los círculos no está incluida). (b)Demuestra una afirmación similar para las letras T o E en el plano (¡pero no para M u O!).
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Un buen punto de partida es preguntarse cuál es la diferencia entre las formas de 8, T y E, por un lado, y M y O, por otro. Una cosa que llama la atención es que cada uno de 8, T y E tiene un punto que no tiene una vecindad que se parezca a un segmento de recta: 8 tiene el punto de tangencia de los dos círculos, T tiene la intersección de las dos rectas y E tiene la intersección de la recta vertical y la recta horizontal del medio. (Las otras dos rectas horizontales de E) se pueden enderezar para que parezca $\vdash$ . La M, por otro lado, se puede enderezar en un segmento de recta, y cada punto de la O parece un punto de C si lo miras de cerca, por lo que también parece que está en un segmento de recta.
Yo empezaría por intentar demostrar que una colección de T disjuntos por pares en el plano debe ser contable: son más simples que los 8, pero cada 8 contiene un T (ligeramente deformado), así que si puedes hacerlo para los T, básicamente lo has hecho para los 8.
Supongamos que $\mathscr{T}$ es una colección incontable de T disjuntos por pares en el plano. Para cada $T\in\mathscr{T}$ hay números racionales $p_T,q_T$ y $r_T$ con $r_T>0$ tal que si $C_T$ es el círculo de radio $r_T$ centrado en $\langle p_T,q_T\rangle$ entonces el punto de intersección de $T$ está dentro $C_T$ y los tres extremos de $T$ están fuera $C_T$ . Sólo hay contablemente muchos triples de números racionales, por lo que debe haber algún $p,q,r\in\Bbb Q$ tal que
$$\mathscr{T}_0=\{T\in\mathscr{T}:p_T=p,q_T=q,\text{ and }r_T=r\}$$ es incontable.
Ahora recorta los extremos de cada $T\in\mathscr{T}_0$ de modo que los tres segmentos terminen exactamente en el círculo $C_T$ Ahora tienes un círculo $C_T$ dividida en tres regiones por el $T$ en su interior. (Si dobla la barra superior de $T$ en el punto de intersección, este círculo-con-T se parecerá al símbolo de Mercedes-Benz). Cada una de las regiones debe contener un punto cuyas coordenadas sean ambas racionales; llamaremos a estos puntos $x_T,y_T$ y $z_T$ . Debe haber algún $x,y,z\in\Bbb Q^2$ tal que
$$\mathscr{T}_1=\{T\in\mathscr{T}_0:x_T=x,y_T=y,\text{ and }z_T=z\}$$
es incontable. ¿Puede demostrar que si $T,T'\in\mathscr{T}_1$ entonces $T\cap T'\ne\varnothing$ y así obtener una contradicción? Un esquema puede ayudar; observe que $C_T=C_{T'}$ .
He añadido un boceto adecuado a continuación; $C=C_T=C_{T'}$ , $P$ es el punto de intersección de $T'$ y $x,y$ y $z$ son como los anteriores.
Shabaz
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CodingBytes
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El siguiente argumento se refiere a la pregunta original (a) sobre los ochos.
Sea $(E_\iota)_{\iota\in I}$ sea la familia de ochos dada. Para cada $\iota\in I$ denotado por $\bar E_\iota$ los ocho "rellenados $E_\iota$ y por $r_\iota\geq s_\iota>0$ sus dos radios. Si $E_\iota$ está rodeado por algún otro $E_{\iota'}$ entonces necesariamente $r_\iota+s_\iota<r_{\iota'}$ .
Para cualquier $k\in{\mathbb Z}$ y cualquier $\ell\in{\mathbb N}_{\geq1}$ denotado por $I_{k\ell}$ el conjunto de $\iota\in I$ tal que $$2^k \leq s_\iota <2^{k+1}\ , \qquad \ell\, 2^k\leq r_\iota< (\ell+1) 2^k\ ;$$ la idea es que dos ochos del mismo $I_{k\ell}$ deberían tener aproximadamente los mismos radios. Esta circunstancia puede aprovecharse de la siguiente manera:
Fijar un $k$ y un $\ell$ y considera dos ochos $E_\iota$ , $E_{\iota'}$ con $\iota$ , $\iota'\in I_{k\ell}$ . Entonces $r_\iota +s_\iota\geq (\ell+1)\,2^k> r_{\iota'}$ . De ello se deduce que ninguno de estos dos ochos puede rodear al otro; por lo que $\bar E_\iota$ y $\bar E_{\iota'}$ son conjuntos disjuntos de área positiva. En consecuencia, sólo puede haber un número contable de ochos $E_\iota$ con $\iota\in I_{k\ell}$ . Es decir, $I_{k\ell}$ es contable.
En ${\mathbb Z}$ y ${\mathbb N}_{\geq1}$ son contables el conjunto índice completo $I=\bigcup_{k\in{\mathbb Z},\ \ell\in{\mathbb N}_{\geq1}} I_{k\ell}$ también es contable.
Alan
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He hecho la misma pregunta hoy en MO: https://mathoverflow.net/questions/371669/fundamental-group-and-countability y alguien allí dio el enlace a este hilo.
Tuve una idea que implicaba $p$ -enteros radicales:
Primero consideremos uno de los dos bucles que definen el signo 8, digamos el superior, y consideremos que su área es igual a 1. Pondremos los 8 signos más pequeños, todos incluidos en este mismo bucle superior y con interiores disjuntos de área respectiva mínima $A$ con $0<A<1$ . Podemos hacerla adimensional diciendo que es la relación entre el área mínima del interior de algún signo 8 y el área del bucle "madre". Se puede empaquetar un número finito $N(A)$ de 8-signos de interiores disjuntos de área al menos $A$ en él. Deja que $p(A)$ el primo más pequeño mayor o igual que $N(A)$ . La iteración de este proceso dentro de cada bucle superior en cada nivel muestra que su número está acotado superiormente por $\sum_{i=1}^{\infty}p(A)^i$ que es contablemente infinito: se reduce a contar el número de $1$ en $1+(1+1+...+1)+(1+1+...+1)+...$ El $k$ -ésimo par de paréntesis que contiene un número de $1$ igual a $p^{k}$ . Este es un límite superior para el número de bucles superiores: para obtener un límite superior para el número de $8$ en cada paso, basta con sustituir $N(A)$ por $2N(A)$ y $p(A)$ por el primo más pequeño mayor o igual que $2N(A)$ que denotaremos por $q(A)$ . El mismo razonamiento se aplica mutatis mutandis, y acabamos con un número contable de signos 8 en cualquier región del plano donde se pueda dibujar un signo 8.
