Sea X un espacio topológico. El subconjunto B es denso, no abierto y no vacío. ¿Cómo se puede demostrar que el complemento es denso?
Respuesta
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Esto no es cierto en general. Por ejemplo, si $X=\mathbb Q$ (con la topología heredada de la recta real) entonces todo subconjunto de $X$ es contable y, por tanto, exigua. Para obtener un contraejemplo a tu afirmación, basta con tomar un subconjunto arbitrario de $X$ que no es abierto y tiene un interior no vacío. Por ejemplo, tomemos $B=(-\infty,0]\cap\mathbb Q$ .
Sin embargo, la afirmación es cierta si $X$ es un espacio de Baire. Espacios de Baire son espacios en los que se cumple el Teorema de la Categoría de Baire. Por ejemplo, todo espacio métrico completo y todo espacio de Hausdorff localmente compacto es un espacio de Baire.
En efecto, supongamos que $X$ es un espacio de Baire y $B$ es escasa. Entonces $B=\bigcup_{i=1}^\infty B_i$ donde cada $A_i$ no es denso en ninguna parte. De aquí obtenemos $B\subseteq \bigcup_{i=1}^\infty \overline{B_i}$ donde $\operatorname{Int\overline{B_i}}=\emptyset$ .
Ahora obtenemos para el complemento $$X\setminus B\supset \bigcap_{i=1}^\infty (X\setminus\overline{B_i}).$$ Cada uno de los conjuntos $X\setminus\overline{B_i}$ es denso en $X$ (ya que $\operatorname{Int\overline{B_i}}=\emptyset$ ). En un espacio Baire, la intersección de un número contable de conjuntos abiertos densos es densa. Por lo tanto $\bigcap\limits_{i=1}^\infty (X\setminus\overline{B_i})$ y, en consecuencia, $X\setminus B$ es denso.
