Aplicación del teorema de correspondencia para grupos

Question

Intento resolver el siguiente problema:

Sea $G$ sea un grupo con un subgrupo normal $N$ de orden $5$ tal que $G/N$ es isomorfo al grupo simétrico $S_4$ en $4$ símbolos. Demostrar que $|G|=120$ , $G$ tiene un subgrupo normal de orden $20$ y exactamente $4$ subgrupos de orden $15$ nada de lo cual es normal en $G$ .

$|G|=120$ es una aplicación sencilla del teorema de Lagrange. Tengo problemas con las otras partes. Mi primera idea fue utilizar los teoremas de Sylow, pero parece que no son muy útiles en este caso. Mi siguiente idea es utilizar el teorema de correspondencia:

Entiendo que la idea general del teorema de correspondencia es si $N\triangleleft G$ entonces existe una correspondencia entre los conjuntos de subgrupos $\{H\leq G:H\geq N\}$ y $\{K\leq G/N\}$ . Aplicado aquí, ya que $S_4\cong G/N$ entonces subgrupos en $G$ corresponden a puntos (cosets) en $G/N$ . Entonces tomando el homomorfismo canónico $\pi:G\rightarrow G/N$ por $g\mapsto gN$ tenemos que $\operatorname{ker}\pi=N$ así que $|\operatorname{ker}\pi|=5$ . Entonces creo que $G$ que tiene un subgrupo normal de orden $20$ se deduce del teorema de Lagrange y del primer teorema de isomorfismo.

Estoy buscando ayuda principalmente para resolver la última parte de este problema, pero también para construir una intuición más fuerte para resolver este tipo de problemas.

Answer 1

Tenga en cuenta que $|S_4|=4!=24$ . Así, $|G/N|=24$ . Entonces, por el teorema de Lagrange, $|G/N|=[G:N]$ y así $|G|=|G/N|\cdot|N|=24\cdot5=120$ .

Consideremos ahora el subgrupo $K=\{(),(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\}\leq S_4\cong G/N$ . Entonces $K\triangleleft G/N$ , $|K|=4$ y $[G/N:K]=6$ (de nuevo por el teorema de Lagrange). Así, por el teorema de correspondencia, $K$ corresponde a un subgrupo normal $H\triangleleft G$ tal que $[G:H]=6$ y por tanto (por el teorema de Lagrange) $|H|=120/6=20$ .

Por último, puesto que $G/N\cong S_4$ y $S_4$ tiene cuatro subgrupos de orden $3$ ( $\langle(1,2,3)\rangle,\langle(1,2,4)\rangle,\langle(2,3,4\rangle,\langle(1,3,4)\rangle$ ), ninguno de los cuales es normal en $S_4$ el resultado deseado se obtiene por aplicación del teorema de correspondencia.