Demostrar que las normales a un cilindro cortan perpendicularmente al eje

Question

Consideremos el siguiente problema (Ejercicio 2.55 en la obra de Montiel y Ros Curvas y superficies 2ª edición):

Sea $S = \{p \in \mathbb{R}^3 \ | \ |p|^2 - \langle p, a \rangle^2 = r^2\}$ con $|a|=1$ y $r>0$ sea un cilindro recto de radio $r$ cuyo eje es la recta que pasa por el origen con dirección $a$ . Demostrar que $T_pS = \{v \in \mathbb{R}^3 \ | \ \langle p, v \rangle - \langle p, a \rangle \langle a, v \rangle = 0\}$ . Concluir que todas las líneas normales de $S$ cortar el eje perpendicularmente.

Ahora, $S = f^{-1}(r^2)$ donde $f(p) = |p|^2 - \langle p, a \rangle^2$ . Pero $$ (df)_p[v] = 2 \langle p, v \rangle - 2 \langle p, a \rangle \langle a, v \rangle, $$ de ahí la primera parte.

Ahora, ¿cómo mostrar la segunda parte?

Cualquier sugerencia será muy apreciada.

Answer 1

Pista: Sólo observe que $a\in T_p(S)$ y la proyección ortogonal $p_{\perp a}:=p-\langle p, a\rangle\, a\, \perp T_p(S)$ .