Actualmente estoy preparando una parte de un seminario de topología/teoría descriptiva de conjuntos y estoy trabajando con el libro de A. Kechris. Estoy confundido acerca de algunos resultados para uno de los ejemplos más fáciles, el escenario es el siguiente:
El libro quiere que demuestre que "Cualquier espacio $A^{\mathbb{N}}$ visto con la topología discreta, donde A es un conjunto contable, es pulido" (*) En el caso especial de A = {0,1} llegaríamos al espacio de Cantor, que sé que es separable como segundo espacio contable y además completamente metrizable.
Aquí viene la confusión: He demostrado que (1) el producto de una secuencia de espacios pulidos son pulidos. También he demostrado que (2) el conjunto contable $A$ con la topología discreta se pule demostrando que (3) todo conjunto $A$ está dotada de la topología discreta si $A$ es su único subconjunto denso, por tanto separable (ya que $A$ también contable).
Ahora para demostrarlo (*) seguiría el camino que supongo que pretendía el autor: Usando (1) y (2) concluimos $\Rightarrow$ (*). Pero (3) no contradice esta afirmación, ya que me dice que el único subconjunto denso en $A^{\mathbb{N}}$ es $A^{\mathbb{N}}$ porque estamos equipados con la topología discreta? Y puesto que $A^{\mathbb{N}}$ es incontable, llegamos a $A^{\mathbb{N}}$ no separable, por tanto no pulible?
¿Dónde está mi error? ¿Era (3) incorrecto? ¿He entendido mal cómo el espacio $A^{\mathbb{N}}$ ¿Qué aspecto tiene?
