Determinar si una familia de series de potencias es normal

Question

¿Cómo puedo comprobar si una familia dada de series de potencias forma una familia normal? Estoy intentando aplicar el teorema de Montel que dice que una familia de funciones holomorfas es normal si está uniformemente acotada en todo conjunto compacto pero no he podido verificar esta condición de acotación.

Por ejemplo, vi un problema en un libro en el que se pedía demostrar que la familia de series de potencias $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$ con $|a_{n}|\leq n^{2}$ es normal en el disco de unidad abierta, pero no estoy seguro de cómo hacerlo. ¿Ayuda el hecho de que cada una de estas series converge uniformemente en cada disco cerrado más pequeño centrado en 0? Un problema similar es determinar si la familia de series de potencias $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}z^{n}$ con $|a_{n}|\leq n$ es normal en el disco unitario abierto.

Answer 1

Para el ejemplo que has puesto arriba puedes aplicar el teorema de Montel:

$$ |a_n| \le n^2$$ implica $$| \sum a_n z^2 |\le \sum n^2 |z|^n$$ En cualquier subconjunto compacto del disco $| z|$ tiene un supremo estrictamente menor que 1 por lo tanto la suma convergerá con una cota uniforme.

Deberías poder argumentar otros casos de forma similar, hay otros criterios que puedes comprobar pero normalmente la acotación uniforme en subconjuntos compactos es la más fácil de comprobar.

Answer 2

Si $|a_n|\leq n^2$ para todos $n$ entonces para todo $r<1$ y todos $z$ con $|z|\leq r$ tenemos $\left|\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n\right|\leq\sum\limits_{n=0}^\infty |a_n||z|^n\leq\sum\limits_{n=0}^\infty n^2r^n=M(r)<\infty.$ Tenga en cuenta que $M(r)$ es independiente de la secuencia concreta $(a_n)$ .

El mismo método se aplica si $|a_n|\leq f(n)$ donde $f$ es cualquier función sobre los enteros no negativos tal que $\sum\limits_{n=0}^\infty f(n)r^n<\infty$ para todo positivo $r<1$ . En particular, esto se cumpliría para cualquier límite polinómico.