¿Son las funciones monótonas medibles en Borel?

Question

¿Podría guiarme cómo demostrar que cualquier función monótona de $R\rightarrow R$ ¿es Borel medible?

Dado que las funciones monótonas son continuas lejos de un número contable de puntos, ¿sería esto útil para demostrar la mensurabilidad?

Answer 1

Sugerencia: Si $f$ es monótona, entonces, para cada número real $x$ el conjunto $$f^{-1}((-\infty,x])=\{t\mid f(t)\leqslant x\}$$ es $\varnothing$ o $(-\infty,+\infty)$ o $(-\infty,z)$ o $(-\infty,z]$ o $(z,+\infty)$ o $[z,+\infty)$ para algún número real $z$ .

Para demostrarlo, supongamos por ejemplo que $f$ es decreciente y que $u$ está en $f^{-1}((-\infty,x])$ demuestre que, para cada $v\leqslant u$ , $v$ también está en $f^{-1}((-\infty,x])$ .