¿Por qué la carga clásica de Noether se convierte en el generador de simetría cuántica?

Question

A menudo se dice que la carga clásica $Q$ se convierte en el generador cuántico $X$ después de la cuantización. De hecho, esto es lo que ocurre con ejemplos sencillos de energía y momento. Pero, ¿por qué debería ser así desde el punto de vista matemático?

Para mayor claridad vamos a suponer que estamos haciendo cuantización canónica, por lo que los corchetes de Poisson se convierten en conmutadores. Supongo que la razón tiene algo que ver con la relación entre la mecánica hamiltoniana clásica y la ecuación de Schrodinger. ¿Quizá haya una formulación sencilla del teorema de Noether en el entorno hamiltoniano clásico que aclare con precisión la analogía cuántica?

Agradecería cualquier sugerencia o referencia.

Antecedentes matemáticos

En mecánica clásica, una transformación continua del Lagrangiano que deja invariante la acción se denomina simetría. Produce una carga conservada $Q$ según el teorema de Noether. $Q$ permanece invariable durante todo el movimiento del sistema.

En mecánica cuántica una transformación continua se efectúa a través de una representación de un grupo de Lie $G$ en un espacio de Hilbert de estados. Insistimos en que esta representación es unitaria o antiunitaria para que las probabilidades se conserven.

Una transformación continua que preserva las soluciones de la ecuación de Schrodinger se denomina simetría. Es fácil demostrar que esto es equivalente a $[U,H] = 0$ para todos $U$ que representa la transformación, donde $H$ es el operador hamiltoniano.

Podemos ver equivalentemente una transformación continua como la acción de conjugación de un operador unitario sobre el espacio de observables hermitianos de la teoría

$$A \mapsto UAU^\dagger = g.A$$

donde $g \in G$ . Esto da inmediatamente una representación del álgebra de Lie en el espacio de observables

$$A \mapsto [X,A] = \delta A$$

$$\textrm{where}\ \ X \in \mathfrak{g}\ \ \textrm{and} \ \ e^{iX} = U \ \ \textrm{and} \ \ e^{i\delta A} = g.A$$

$X$ suele denominarse generador. Es evidente que si $U$ describe una simetría, entonces $X$ será una cantidad conservada en la evolución temporal del sistema cuántico.

Editar

Se me ha ocurrido que quizá esté relacionado con los "campos vectoriales hamiltonianos" para funciones sobre una variedad simpléctica. Es de suponer que, tras la cuantización, éstos pueden asociarse a los generadores del álgebra de Lie, que actúan sobre las funciones de onda en el colector. ¿A alguien le parece correcto?

Answer 1

Consideremos un formalismo de campo cuántico, donde los campos son operadores. Por ejemplo, consideremos, para simplificar, un campo escalar cargado , con acción $S = \int d^4x \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi^*$ con un campo :

$$\phi(x) = \int ~ \frac{d^3k}{2E_k} ~(a(p)e^{-ip.x} + b^+(p)e^{ip.x} )\tag{1}$$

$$\phi^*(x) = \int ~ \frac{d^3k}{2E_k} ~(b(p)e^{-ip.x} + a^+(p)e^{ip.x} )\tag{2}$$

donde $a^+(p), a(p)$ son operadores de creación/aniquilación de la partícula, y $b^+(p), b(p)$ operador de creación/aniquilación de la antipartícula.

Si tenemos una transformación infinitesimal, $\delta \phi(x)$ dejando inalterada la acción $S$ la corriente conservada es $j^\mu(x) = [\frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu \phi)}~\delta \phi(x) + \frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu \phi^*)}~\delta \phi^*(x)]$ (omitiendo los parámetros infinitesimales), y la carga generalizada conservada es $Q =~:\int d^3x~ j^0(x): ~= ~:\int d^3x ~[\Pi(x)~ \delta\phi(x) +\Pi^*(x)~ \delta\phi^*(x)]:$ - donde el $\Pi(x),\Pi^*(x)$ son los momentos conjugados de $\phi(x),\phi^*(x)$ y el signo $:$ es para el producto normal ordenado (poniendo los operadores de aniquilación a la derecha).

Vemos, por supuesto, que $Q$ es un operador.

Un ejemplo: la carga estándar (eléctrica) es la cantidad conservada que corresponde a la transformación (global) $\phi(x) \rightarrow e^{-i\Lambda}\phi(x)$ aquí la transformación infinitesimal es $\delta \phi(x) = -i\epsilon ~\phi(x)~$ por lo que tenemos :

$$Q = -i:\int ~ d^3x ~(\Pi(x) ~\phi(x) - \Pi^*(x) ~\phi^*(x) ): \tag{3}$$

O, lo que es lo mismo :

$$Q = \int ~ \frac{d^3k}{2E_k} ~(a^+(p)a(p) - b^+(p)b(p) )\tag{4}$$

Y tenemos : $$[Q,\phi(x)]=-\phi(x) \tag{5}$$ (Esto puede comprobarse a partir de las relaciones de conmutación fundamentales entre operadores, como $[a(k),a^+(k')]=\delta^3(k-k')$ )

Answer 2

La cuantización canónica después de Dirac debe cumplir los siguientes axiomas:

• Q1: El mapa $f \to \hat f$ que asigna un operador a cada función en el espacio de fase es lineal y las funciones constantes 1 se asignan al operador 1

• P2: El paréntesis de Poisson mapea al conmutador decorado con $\hbar$

• P3: Un sistema completo de funciones en involución mapea a un sistema completo de operadores conmutativos.

Esta última condición garantiza que $G$ es una simetría en el lado cuántico (la asignación $f \to \hat f$ debe ser una representación irreducible de los generadores de simetría). Pero los teoremas No-Go de Groenwald y Van Hove muestran que no es posible una cuantización para todos los observables con Q1-Q3. Las dos soluciones principales son: Debilitar Q2 y sólo exigir que se mantenga sólo hasta el primer orden de $\hbar$ - esto conduce a la cuantización de la deformación. Por otro lado, la cuantización geométrica modifica la Q3 en el sentido de que sólo debería ser válida para alguna subálgebra razonable de funciones (por ejemplo, que contenga el momento, etc.).