En $\mathbf{C}$ Creo que la respuesta es sí (la cubierta universal es algebraica), aunque no soy muy experto. Esta es la historia tal y como yo la entiendo.
Un grupo algebraico lineal semisimple conectado sobre un campo $k$ se llama simplemente conexo si no admite ninguna isogenia no trivial desde otro grupo conexo. (Una isogenia es un homomorfismo plano y sobreyectivo de un grupo algebraico $k$ -grupos con núcleo finito). Ahora, al igual que en la historia de los grupos de Lie, los grupos algebraicos agradables se clasifican por datos combinatorios. Precisamente, un reductor $k$ -grupo $G$ junto con un toroide máximo dividido $T$ se clasifica por un "dato raíz", que es aproximadamente las raíces y corotas de $G$ con respecto a $T$ además de los entramados de caracteres y cocaracteres de $T$ . ("Aproximadamente" porque cuando $k$ no es algebraicamente cerrado, hay que tener en cuenta la acción del grupo de Galois de $k$ en los entramados, también). En consecuencia, las isogenias entre tales grupos coinciden biyectivamente con los "morfismos" apropiados entre los datos de las raíces respectivas. Estos teoremas son un poco complicados, pero pueden encontrarse en el libro de Borel sobre grupos algebraicos lineales, para el caso que te interesa. (Campo algebraicamente cerrado de característica cero, a saber $\mathbf{C}$ .)
Una consecuencia de esta teoría es que para cualquier algebraica lineal semisimple conectada $\mathbf{C}$ -existe una "cobertura universal algebraica", es decir, una isogenia $\tilde{G}\to G$ a partir de una conexión simple $\mathbf{C}$ -grupo $\tilde{G}$ . (De hecho, no necesitamos trabajar más de $\mathbf{C}$ para que esto sea cierto).
Aquí está el quid de la cuestión. Afirmo que si $G$ es una zona simplemente conectada $\mathbf{C}$ -grupo, entonces los puntos cerrados $G(\mathbf{C})$ están simplemente conectados en la topología clásica. La hipótesis de que estamos sobre $\mathbf{C}$ es crucial: $\mathrm{Sp}(2n)$ es una zona simplemente conectada $\mathbf{R}$ -pero la cobertura universal de $\mathrm{Sp}(2n)(\mathbf{R})$ es el grupo metapléctico no algebraico.
Permítanme esbozar la prueba de la afirmación, que es sorprendentemente difícil. (Esto me lo explicó Brian Conrad; cualquier error que introduzca es, por supuesto, mío). En primer lugar, es un hecho, aunque no una tautología, que desde $G$ está conectado, $G(\mathbf{C})$ está conectado en la topología clásica. Así que es un buen comienzo. A continuación, por la teoría de Lie clásica, el grupo de Lie complejo $G(\mathbf{C})$ es equivalente en homotopía a un subgrupo de Lie real compacto máximo $K$ . Desde $K$ es una variedad compacta, esto implica que $H^1(G(\mathbf{C}),\mathbf{Z})$ está generada finitamente. Pero este grupo es la abelianización de $\pi_1(G(\mathbf{C}))$ (Hurewicz); y el grupo fundamental ya es abeliano porque esto es cierto para todos los grupos topológicos. Así que $\pi_1(G(\mathbf{C}))$ es de generación finita (y abeliana). En particular, tiene un cociente finito. Por lo tanto, si $G(\mathbf{C})$ no fueran (clásicamente) simplemente conectadas, habría una finito mapa de cobertura de grupos complejos de Lie $G'\to G(\mathbf{C})$ . Ahora un teorema duro de Grauert (que relaciona $\pi_1(G(\mathbf{C}))$ al "grupo fundamental \'etale" de $G$ que clasifica el análogo algebraico de los mapas de cobertura finitos) implica que $G'$ así como su estructura analítica de grupo, se puede dar de forma única una estructura algebraica. En otras palabras, existe una estructura algebraica $\mathbf{C}$ -grupo $G_0'$ con $G'=G_0'(\mathbf{C})$ y una isogenia $G_0'\to G$ , tal que el mapa inducido en $\mathbf{C}$ -puntos es $G'\to G(\mathbf{C})$ . En particular $G_0'\to G$ es una isogenia no trivial, ya que en $\mathbf{C}$ -es un mapa convergente finito no trivial. Y esto contradice la conexión simple (algebraica) de $G$ .
¡Uf! Así que, en resumen, para la algebraica lineal semisimple conectada $\mathbf{C}$ -grupos $G$ la cubierta universal de $G(\mathbf{C})$ es precisamente $\tilde G(\mathbf{C})$ donde $\tilde G$ es la forma simplemente conectada de $G$ .
[*] Advertencia: En esta respuesta, "conectado" significa conectado a Zariski. Para grupos algebraicos sobre $\mathbf{R}$ Esto es MUY diferente de la $\mathbf{R}$ ¡-puntos que se conectan en la topología clásica!
