Sea $M$ ser un $2$ -dimensional de Riemann, y ${\bf x}: U \subset \Bbb R^2 \to M$ sea una parametrización de $M$ . Supongamos que $\bf x$ es ortogonal, es decir, $F = \langle {\bf x}_u,{\bf x}_v\rangle = 0$ . Sea $\nabla$ sea la conexión Levi-Civita en $M$ .
He comprobado que $E_1 = \frac{{\bf x}_u}{\sqrt{E}}$ y $E_2 = \frac{{\bf x}_v}{\sqrt{G}}$ es un marco ortonormal en ${\bf x}(U)$ y que sus formas duales son $\theta_1 = \sqrt{E} \ {\rm d}u$ y $\theta_2 = \sqrt{G} \ {\rm d}v$ (aquí, ${\rm d}u$ es dual con ${\bf x}_u$ y ${\rm d}v$ es dual con ${\bf x}_v$ ). Además, calculé la forma de conexión $$\omega_{12} = -\frac{(\sqrt{E})_v}{\sqrt{G}} \ {\rm d}u + \frac{(\sqrt{G})_u}{\sqrt{E}} \ {\rm d}v.$$
A continuación, el ejercicio pide comprobarlo: $$\omega_{12}({\bf x}_v) = \frac{1}{\sqrt{E}G}\langle \nabla_{{\bf x}_u}{\bf x}_v, {\bf x}_v\rangle = \frac{1}{\sqrt{E}G}\langle \nabla_{{\bf x}_v}{\bf x}_u, {\bf x}_v\rangle \quad \mbox{and} \\ \omega_{12}({\bf x}_u) = \frac{1}{\sqrt{E}G}\langle \nabla_{{\bf x}_v}{\bf x}_u, {\bf x}_u\rangle = \frac{1}{\sqrt{E}G}\langle \nabla_{{\bf x}_u}{\bf x}_v, {\bf x}_u\rangle.$$
No estoy seguro de que esto sea correcto. Creo que hay un error tipográfico, y debería ser $\sqrt{EG}$ en lugar de $\sqrt{E}G$ en todas partes arriba. Voy a mostrar lo que he hecho en esta parte:
Tenemos $\omega_{12}({\bf x}_v) = \frac{(\sqrt{G})_u}{\sqrt{E}}$ . Entonces: $$\frac{\partial}{\partial u}\sqrt{G} = \frac{1}{2\sqrt{G}}\frac{\partial}{\partial u}\langle {\bf x}_v, {\bf x}_v\rangle = \frac{1}{2\sqrt{G}} 2\langle \nabla_{{\bf x}_u}{\bf x}_v,{\bf x}_v\rangle = \frac{1}{\sqrt{G}}\langle \nabla_{{\bf x}_u}{\bf x}_v,{\bf x}_v\rangle.$$ Por aquí, $\omega_{12}({\bf x}_v) = \frac{1}{\sqrt{EG}}\langle \nabla_{{\bf x}_u}{\bf x}_v, {\bf x}_v\rangle$ en lugar de lo que decía la pregunta. Y $\omega_{12}({\bf x}_u)$ es análoga. Seguramente podría haber cometido algún error tonto, pero no está de más comprobarlo.
Merci !
