Prueba de que $(e^{i\pi/3}+e^{-i\pi/3}) = 1$

Question

Intenté demostrar que

$$\left(e^{i\pi/3}+e^{-i\pi/3}\right) = 1$$

Tengo argumentos geométricos:

$e^{i\pi/3}$ es el número complejo de la unidad imaginaria y el número $e^{- i\pi/3}$ también de la unidad imaginaria, pero por encima del eje real. De la ley del paralelogramo tenemos 1.

Esto también es de conjugado complejo.

Por supuesto, el segundo argumento es dividir esta ecuación por 2 y el argumento de

$$\frac{\left(e^{i\pi/3}+e^{-i\pi/3}\right)}{2} = \frac{1}{2}$$ $$\cos(\pi/3)= \frac{1}{2} $$ ¿Tiene tercer argumento de prueba esto?

Answer 1

Si $x=\exp\left(\frac{\pi i}3\right)+\exp\left(-\frac{\pi i}3\right)$ entonces $$x^3=-1-1+3x=3x-2.$$ Pero la ecuación $x^3=3x-2$ sólo tiene $2$ soluciones: $1$ y $-2$ . Y puesto que es evidente que tanto $\exp\left(\frac{\pi i}3\right)$ y $\exp\left(-\frac{\pi i}3\right)$ tienen un valor absoluto igual a $1$ pero uno de ellos es $1$ está claro que su suma no es $2$ . Así que.., $x=1$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que \begin{align}(e^{i\pi/3}+e^{-i\pi/3})^3&=e^{i\pi}+3e^{i\pi/3}+3e^{-i\pi/3}+e^{-i\pi}\\&=-1+3(e^{i\pi/3}+e^{-i\pi/3})-1\end{align}$$\implies(e^{i\pi/3}+e^{-i\pi/3})^3-3(e^{i\pi/3}+e^{-i\pi/3})+2=0.$$ Este cúbico $x^3-3x+2=(x+2)(x-1)^2$ tiene dos raíces: $$e^{i\pi/3}+e^{-i\pi/3}=-2,1.$$ La primera no puede alcanzarse como $\pi/3$ no es múltiplo de $\pi$ .

Answer 3

Es $$e^{i\pi/3}=\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$$

Answer 4

Por simetría para el centroide punto, tenemos que

$$e^{i\pi/3}+e^{-i\pi/3}+e^{i\pi}=0 \implies e^{i\pi/3}+e^{-i\pi/3}=1$$

Answer 5

Si $x^3=-1\iff x^3+1=0$

$x^3=e^{i(2n+1)\pi}$ donde $n$ es cualquier número entero

$x_n=e^{i(2n+1)\pi/3}$ donde $n=-1,0,1$

Pero usando la fórmula de Vieta, $$x_{-1}+x_0+x_1=-\dfrac03$$